14.5.3. Методы продолжения по параметру.
Эти методы позволяют обеспечить сходимость метода Ньютона от выбранного начального приближения x(0). Сущность методов продолжения по параметру заключается в замене исходной задачи последовательностью задач, каждая последующая задача при этом незначительно отличается от предыдущей. Последовательность строится таким образом, что первая система имеет решение а последняя система совпадает с исходной задачей. Поскольку системы отличаются незначительно, то решение предыдущей задачи окажется хорошим начальным приближением для последующей. Решая такую последовательность задач методом Ньютона, получим в итоге решение исходной системы. Рассмотрим способ построения указанной последовательности задач.
Пусть при решении системы
F(x) = 0, x Rn.
используется начальное приближение x(0). Заменим исходное уравнение F(x) = 0 уравнением с параметром
H(x, t) = 0, t [0, 1],
которое при t = 0 имеет решение x(0), а при t = 1 совпадает с решением исходной задачи, т. е.
H(x(0), 0) = 0, H(x*, 1) = F(x*)= 0.
В качестве H(x, t) можно выбрать функции
H(x, t)=(t1) F(x(0))+ F(x)
либо
H(x, t)=( 1 t) (x x(0))+tF(x).
Разобьем отрезок [0, l] точками t0=0, t1, …, tm =1 на m интервалов. Получим искомую последовательность систем: H(x, ti)=0, i = 0,1, ..., m.
14.5.4. Метод Ньютона для плохо обусловленных задач.
Если матрица Якоби J плохо обусловлена, погрешность решения линейной системы (14.5) может оказаться значительной из-за ошибок округления. Поэтому в случае плохо обусловленных матриц J при вычислении вектора поправок х(k), привлекают систему
с числовым параметром [0, 1], где Е единичная матрица. При = 0 модифицированная система совпадает с линейной системой стандартного метода Ньютона, при стремлении к единице число обусловленности модифицированной системы также стремится к единице. Однако скорость сходимости соответствующего метода значительно ухудшается, поскольку при = 1 метод вырождается в метод простых итераций.
14.5.5. Дискретный метод Ньютона.
Дискретный метод Ньютона базируется на аппроксимации матрицы Якоби на основе вычисленных значений функции F(x) в ряде вспомогательных точек. Построим его. Как и прежде, будем использовать векторную запись решаемой системы уравнений
F(x) = 0.
Пусть известно k-e приближение х(k) к решению х*. Аппроксимируем функцию F(x) линейной функцией:
I(х) = Вх +b.
Для численного определения матрицы В и вектора b потребуем, чтобы значения функций F(x) и I(х) совпадали в (п+1) вспомогательных точках х(k,j), j = 0,1,2,...,n, т.е. чтобы выполнялось равенство
Bх(k,j)) + b = F(х(k,j))
j = 0,1,2,...,n.
Вычитая из первого равенства все последующие, получим соотношения
B (х(k,0) х(k,j)) = F(х(k,0)) F(х(k,j))
или в матричной форме
ВХ = Ф,
где пп-матрицы X и Ф имеют вид
Х = (х(k,0) х(k,1), х(k,0) х(k,2), …, х(k,0) х(k,n))
Ф = (F(х(k,0)) F(х(k,1)), F(х(k,0)) F(х(k,2)), …, F(х(k,0)) F(х(k,n)).
Следовательно,
В = ФХ1.
Условие I(х(k,0)) = F(х(k,0)) позволяет найти вектор b :
b= F(х(k,0)) ФХ1х(k,0).
Перепишем функцию I(х), подставив найденные соотношения для В и b:
I(х) = ФХ1 (х х(k,0)).+F(х(k,0)).
Примем х(k) = х(k,0) . Будем искать х(k+1) из уравнения
I(х(k+1)) = ФХ1 (х(k+1) х(k)) +F(х(k))=0.
Получим итерационную формулу дискретного метода Ньютона:
х(k+1) = х(k)) ХФ1 F(х(k))=0, k = 0,1,2,....
Заменяя обращение матрицы решением линейной системы, придем к реализуемому на практике алгоритму дискретного метода Ньютона для k = 0,1,2,... :
1. Вычисляется вектор F(х(k)), матрицы Х и Ф.
2. Решается система линейных алгебраических уравнений
Ф = F(х(k))
3. Вычисляется вектор поправки
w = X.
4. Вычисляется (k+1)-e приближение
х(k+1) = х(k)+w.
5. Если получено решение с требуемой точностью, то заканчиваем итерационный процесс, иначе полагаем k: = к+1 переходим к пункту 1.
Применение дискретного метода Ньютона предполагает хранение матриц X и Ф размеров п×п. Однако на практике в качестве вектора х(k,j) выбирается вектор
х(k,j)= х(k,0)+hej
где h диагональная матрица параметров дискретизации, ej, j-й столбец единичной матрицы. Элементы hj матрицы h вычисляют по правилу hj = M х(k,0), где М константа (например, 0.1).