§ 14.4. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

Пусть задана система нелинейных уравнений (14.1), решение которой достигается в точке x^*= пространства Rⁿ. Обозначим F=(f₁, f₂, … f_n,))^Т. Тогда исходная система запишется в виде

F(x) = 0, х Rⁿ.

Предположим, что известно k-e приближение х^(k+1) к х*. Построим правило Ньютона вычисления (k+\)-гo приближения в форме

х^(k+1)= х^(k) +х^(k), (14.4)

Разложим функцию F(x) = F(х^(k) +х) в ряд Тейлора в окрестности точки х^(k) и сохраним в разложении два члена:

F(x) = F(х^(k) +х)= .

Полагая, что решение системы достигается на текущей итерации, относительно поправки х^(k) получим систему линейных алгебраических уравнений:

. (14.5)

Тогда

и итерационное правило Ньютона решения системы нелинейных алгебраических уравнений запишется как

Такой вид метода Ньютона неудобен на практике, потому что требует вычисления обратной матрицы, а эта операция достаточно трудоемка. На практике метод Ньютона реализуется в следующем виде:

1. Решается система линейных алгебраических уравнений (14.5) и вычисляется вектор поправки.

2. Вычисляется (k+1)-e приближение по формуле (14.4).

3. Пункты 1, 2 повторяются для k = 1,2, ... до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Критерием завершения итерационного процесса служат условия

или в более общей форме

где числа  и  определены заранее ( см. лекция 13).

§ 14.5. Некоторые модификации метода Ньютона. Краткий обзор.

Перечислим недостатки метода Ньютона, на устранение которых направлены различные его модификации:

• трудность задания начального приближения, от которого метод сходится;

• необходимость вычисления на каждой итерации матрицы Якоби, что может потребовать существенных вычислительных затрат;

• необходимость решения на каждой итерации системы линейных алгебраических уравнений;

• требование невырожденности матрицы Якоби.

Рассмотрим модификации метода Ньютона, которые в той или иной мере устраняют перечисленные недостатки.

14.5.1. Метод Ньютона с кусочно-постоянной матрицей.

Чтобы уменьшить вычислительные затраты на итерации, матрица Якоби в этой модификации остается постоянной на протяжении нескольких шагов. Число шагов т, на которых J постоянна, задается в такой модификации в качестве параметра, либо момент перевычисления матрицы Якоби определяется условием

в котором (0;l), например  = 0.1 (матрица Якоби лишь при нарушении этого условия вычисляется заново).

Эффективность метода достигается в этом случае не только путем сокращения числа расчетов матрицы Якоби, но главным образом за счет того, что на т итерациях метода приходится решать линейные системы с одной и той же матрицей.

14.5.2. Метод Ньютона—Рафсона.

Чтобы обеспечить сходимость метода от выбранного начального приближения х⁽⁰⁾, применяется модификация, называемая методом Ньютона-Рафсона. Вычисление (k+l)-гo приближения в этой модификации осуществляется по правилу

х^(k+1)= х^(k) +_kх^(k),

где _k - параметр, значение которого на k-й итерации выбирается из условия

(14.6)

Стратегия выбора параметра _k на итерации может быть такой. Вначале принимается пробное значение _k =1 либо = _k1 и далее это значение видоизменяется до выполнения сформулированного условия (14.6). Это условие может потребовать многократного вычисления вектора F(x_k) на текущей итерации. Очевидно, что при _k =1 метод Ньютона-Рафсона совпадает с методом Ньютона.