Решение:
Плотность распределения непрерывной случайной величины при m = 6, n = 1примет вид:
Используя свойства функций плотности и распределения, найдем:
а) параметр а; б) функцию распределения ; в) вероятность попадания случайной величины в интервал
(m
+ 
+ n
+ 1) =
(6,5; 8);
г) математическое ожидание и дисперсию D .
а) Если все значения случайной
величины принадлежат [
],
параметр а находиться из условия
(условие нормировки)
Вычислим 
:
Отсюда, функция плотности распределения:
б) Функцию распределения находим по формуле:
.
При
:
.
При 
:
При
:
Функция распределения примет вид:
в) Вероятность попадания случайной величины в интервал (6,5; 8) можно вычислить двумя способами:
1 Способ:
. В условиях задачи
P (6,5 <
2 Способ:
По формуле:
;
a=6,5; b=8
Тогда:
г) Математическое ожидание и дисперсия
Математическое ожидание находим по формуле:
М
Дисперсию вычисляем по формуле:
Строим графики и :
Задача 12.2.3.
Случайные величины 
имеют геометрическое, биноминальное и
пуассоновское распределения соответственно.
Найти вероятности
,
если математические ожидания 
, а дисперсия 
.
Решение:
По условию задачи при значениях параметров
m=3, n=3,
надо найти
, если 
, 
, 
1. Случайная величина 
имеет геометрическое распределения,
если её возможные значения 1,2,3,4….
, а вероятности этих значений
.
Известно, что 
;
тогда 
;
так как 
, тогда 
Вычислим:
2. Случайная величина 
имеет биноминальное распределение,
если она принимает значения 0,1,2,3…
с вероятностями:
Известно, что:
тогда, решая эту систему получим:
Вычислим:
3. Случайная величина 
имеет распределение Пуассона, если ее
возможные значения 0,1,2…, а соответствующие
вероятности вычисляются по формуле:
, где 
Тогда:
Задача 12.2.4.
Случайные величины 
имеют равномерное, показательное и
нормальное распределения соответственно.
Найти вероятности
,
если у этих случайных величин математические
ожидания и среднее квадратические отклонения равны m.
Решение:
Пусть n=2, m=5.
Тогда 
, 
Надо найти 
1. Для равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины функция плотности имеет вид.
Математическое ожидание вычисляется по формуле:
Дисперсия:
Отсюда, среднее квадратическое отклонение
(
По условию задачи имеем:
При 
эта система равносильна системе:
,
решая которую, получаем:
Отсюда:
.
Значит, функция плотности имеет вид:
Найдем вероятность 
по формуле попадания значений случайной
величины с функцией плотности 
в 
:
.
Если включение не выполняется, то 
При 
получаем, что
и 
вне 
т.е.
на 
Тогда 
2.
Непрерывная случайная величина 
имеет показательное распределение,
если ее плотность вероятности:
где 
параметр распределения, 
Функция распределения показательного распределения имеет вид:
Известно, что 
, отсюда 
Тогда:
