Решение:
Эту задачу можно решить двумя способами:
1 способ.
а) Пусть А
– событие, что среди извлеченных три
раза шаров окажется ровно два белых.
Обозначим через В событие, что при
однократном извлечении шар будет белым,
тогда ему противоположное событие - 
шар будет черным. Событие А можно
представить в виде:
, где
-
первый и второй раз извлекли белый шар,
а третий раз – черный;
– первый и третий раз извлекли белый,
а второй раз черный;
– первый раз извлекли черный шар, а
второй и третий раз – белый.
Так как слагаемые в А – несовместные события и каждое из произведений состоит из независимых событий, то по теоремам сложения и произведения вероятностей, получим:
.
По условию задачи в урне (n+1)
шаров черного цвета. Пусть n=3,
тогда в урне n+1=3+1=4
черных шара. Всего в урне: 3 белых +4
черных = 7 шаров.
Так как после извлечения
и определения цвета шар возвращается
в урну, то вероятность события В –
извлечен белый шар постоянная в каждом
испытании.
(всего шаров семь, благоприятствующих
случаев 3 – белых). Тогда
и
б) Пусть С – событие, что среди извлеченных с возвращением три раза шаров не менее двух белых. Событие С можно представить в виде:
(А – среди извлеченных два белых, а
– три раза извлекли белые шары). Снова
применим теоремы сложения несовместных
событий и произведения независимых
событий:
2 Способ.
Как отмечали, что извлечение
шаров с возвратом – независимые испытания
и в каждом испытании вероятность события
В – извлечен белый шар, постоянна
(и при n=3 
, 
), то имеем испытания Бернулли.
Вероятности можно вычислять по формуле
Бернулли:
Здесь k означает, что
белый шар будет извлечен k
раз из 
шаров, 
число сочетаний из
по k.
По условию задачи:
а) имеем:
,
б) вероятность того, что из трех извлеченных шаров окажется не менее двух белых (т.е. два или три белых шара)
Задача 12.2.1.
В урне находиться (m+2) белых и (n+2) черных шара. Три шара последовательно извлекаются без возвращения их в урну. Найти вероятность того, что третий по счету шар окажется белым.
Решение:
Пусть А – случайное событие, что третий по счету извлеченный шар белый. Это событие можно представить как сумму четырех несовместных событий:
– первый, второй и третий шары белые;
- первый шар черный, второй и третий
белые;
- первый и второй шары черные, третий
– белый;
- первый и третий шары белые, второй
– черный.
А = + + +
По формуле суммы несовместных событий:
P(А) = P
+P 
+P 
+P 
В каждом слагаемом события между собой зависимы, так как шары после извлечения в урну не возвращаются. Пусть m=5, n=2. Тогда в урне m + n = 5 + 2 = 7 белых шаров и n + 2 = 2 + 2 = 4 черных шаров. Всего шаров 7+4=11. Будем использовать классическое определение вероятности и теорему умножения для зависимых событий:
(всего шаров 11, 7 – белых)
(после извлечения первого белого
шара в урне остается 10 шаров, среди
которых 6 белых)
(после извлечения первого и второго
белых шаров, в урне осталось 9 шаров,
среди которых 5 белых)
Таким образом имеем:
Аналогично рассуждая, получим:
