- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
Дифференциальные уравнения первого порядка можно представить в дифференциальной форме P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (4) равносильное дифференциальному уравнению (3). Если в дифференциальном уравнении (3) функцию допускаем разделение переменных т. е. ее можно представить в виде , то дифференциальное уравнение (3) называется дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющими переменные - дифференциального уравнения с разделенными переменными. Интегрируя и получим общий интеграл: . Замечание: Отдельно исследовать случай f2(y)=0 и если функция определяемая уравнение f2(y)=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и входит в общий интеграл при котором с, то его включают в общий интеграл. Замечание 2: Дифференциальное уравнение (4) может быть дифференцируемым уравнением с разделяющими переменными если в функции P(x,y) и Q(x,y) допускают разделение переменных т. е. P(x,y)=P1(x)P2(y) Q(x,y)=Q1(x)Q2(y) следовательно дифференциальное уравнение (4) принимает вид. P1(x)P2(y)dx+Q1(x)Q2(y)dy=0
проинтегрируем
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
Функция f(x,y) называется однородной функцией относительно переменной x,y n-го порядка если для любого λ, f(λx, λy)= λnf(x,y). Дифференциальное уравнение называется однородным дифференциальным уравнением если однородная функция нулевого порядка, т. е. . Для нахождения решения однородного дифференциального уравнения делают подстановку или отсюда находят и подставляют в дифференциальное уравнение получим: - дифференциальное уравнение с разделяющими переменными. Получаем проинтегрируем пологая что и исследуем отдельно. Примечание: дифференциальное уравнение является однородным дифференциальным уравнением, если P(x,y) и Q(x,y) однородные функции одного и того же порядка.
3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
Дифференциальное уравнения первого порядка вида приводятся либо к однородным дифференциальным уравнениям, либо к дифференциальным уравнениям с разделяющими переменными. а. При с=с1=0 это очевидно: . б. Пусть тогда делают подстановку: , где , , t – новая переменная , тогда или , потребуем чтобы эта система линейных уравнений относительно неоднородна, она имеет единственное решение если ее определитель т.е. тогда - однородное дифференциальные уравнения относительно функции U находим его общий интеграл , а следовательно находим и решение исходного дифференциального уравнения . с. Пусть т. е. или отсюда и следовательно мы можем записать или тогда
- дифференциальное уравнение с разделяющимися уравнениями.
Замечание: д.у. вида , где -непрерывная функция, интегрируется также , как и д.у., рассматриваемое в этом пункте.