- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
Д.у. вида , где -постоянные или непрерывные функции ~x называются линейными д.у. первого порядка. Неоднородным, если и однородным, если . Его решение ищут в виде
Так как у нас имеется лишняя степень свободы, то на одну из функции наложим дополнительное условие, в нашем случае потребуем, чтобы , тогда для функции получим уравнение
Итак,
Замечание: линейное д.у. первого порядка, когда , т.е. д.у. вида может быть решено и другим способом, как линейное д.у. первого порядка с постоянными коэффициентами.
К линейным д.у. первого порядка примыкает и уравнение Бернулли, т.е. уравнение вида: Это уравнение можно привести к линейному д.у. подстановкой
Замечание:
1) К уравнению Бернулли приводит задача о движении тела в среде, когда сила сопротивления среды зависит от скорости нелинейно, т.е.
2) Решая уравнение Бернулли ищут , не приводя его к линейному подстановкой , т.е. как линейное.
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
Д.у. первого порядка вида называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если
Это отношение является необходимым и достаточным условием, чтобы д.у. было д.у. в полных дифференциалах, т.е. - общий интеграл.
Действительно:
1) Необходимость: докажем, что если , то , так как , то и Отсюда находим и
Но , если они непрерывны в данной точке
2) Достаточность: Пусть
Докажем, что существует такая, что Отсюда следует и . Проинтегрируем любое из этих уравнении по x или по y соответственно, например первое.
Итак
Отсюда находим
Отсюда
Из (*) и (**) следует
Общий интеграл исходного д.у. есть и следовательно
Замечание: из доказательства пункта 2 следует метод решения уравнений в полных дифференциалах, т.е. из условий ищется
Если д.у. не является д.у. в полных дифференциалах, т.е. , то существует такой множитель , который называется интегрируемым множителем, что д.у. будет д.у в полных дифференциалах, т.е. (3) Это уравнение является д.у. частных производных для нахождения функции . В двух частных случаях уравнение легко решится:
1) Из уравнения (3) находим
(4)
Если это так, то находится из (4):
2) Из уравнения (3) находим
(5)
Если это так, то находится из (5):
Замечание: д.у. в полных дифференциалах может быть как д.у. с разделяющимися переменными, однородным или линейным. Следовательно, перед тем как проверять условие необходимо убедиться, что оно не является д.у. с разделяющимися переменными, однородным, линейным или уравнением Бернулли. (смотрите последний пример)
д.у. с разд. переменными и однородным.
- однородное.
Вынужденные колебания.
где p>0, q>0. Рассмотрим частный случай, когда внешняя сила
1) p0 и . Общее решение однородного уравнения имеет вид: где . Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде: т.к. находим и . Подставляем в неоднородное дифференциальное уравнение
; ; ; ;
; ; ;
где ; ; ; ;
; ;
где тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения примет вид: где .
При т.е. по истечении достаточно большого промежутка времени, система ведёт себя по закону вынуждающей силы. Колебания происходят с частотой вынуждающей силы. ; ;
Имеет место минимум при: ;
где и ; ; при этой частоте в системе возникает резонанс, т.е. будет максимальна. при p=0 и =0, А* это явление называется резонансом.
2) Пусть p=0, , ,
а) т.е. ; ; ; ; Находим: Отсюда находим: откуда M=0 т.к. , а ; ; ; y – есть сумма двух гармонических колебаний с частотой 0 и
б) ; где ; ;
При =0 отсюда N=0, ; ; при t и y т.е. резонанс при =0 и p=0