П.4. Подобные матрицы.

Определение. Пусть – две квадратные матрицы n-го порядка над полем K. Матрица А называется подобной матрице В над полем K, если существует невырожденная матрица , такая что .

Обозначение. Если матрица А подобна матрице В над полем K, то будем это обозначать или еще проще .

Теорема. Отношение подобия есть отношение эквивалентности, т.е.:

1) подобие матриц рефлексивно,

, ;

2) подобие матриц симметрично,

;

3) подобие матриц трназитивно,

.

Используя понятие подобия, 4-е свойство характеристического многочлена можно сформулировать следующим образом.

Теорема (об инвариантности характеристического многочлена). Характеристические многочлены подобных матриц равны.

Следствие. Подобные матрицы имеют одинаковый след и равные определители.

Также, можно дать следующее определение диагонализируемой матрицы.

Определение. Матрица называется диагонализируемой над полем K, если она подобна над полем K диагональной.

Легко доказать равносильность этого и предыдущего определения диагонализируемости матрицы А.

П.5. Простые и кратные корни многочлена.

В дальнейшем нам понадобится понятие простого и кратного корня многочлена f(x) от одной переменной х.

Для простоты, будем полагать, что все коэффициенты многчлена f(x) лежат в поле комплексных чисел С, т.е. являются действительными или комплексными числами. В этом случае, в силу основной теоремы алгебры, многочлен раскладывается на линейные множители:

,

где – старший коэффициент этого многочлена, – все его корни. Среди корней могут быть как действительные числа, так и комплексные, как равные, так и различные. Пусть – все попарно различные корни многочлена f(x). Тогда многочлен f(x) можно записать в виде

,

где .

Определение. Разложение многочлена

,

где – все его попарно различные корни, называется каноническим разложением над полем комплексных чисел. Степень называется кратностью корня , . Если , то корень называется простым, в противном случае – кратным, кратности .

Пример. Найти кратность каждого корня многочлена

.

Ответ: – кратный корень кратности 3; – простые корни, корни кратности 1.

П.5. Признаки диагонализируемости матрицы (линейного оператора).

Лемма 1. Различным собственным числам линейного оператора соответствуют его различные собственные векторы.

Доказательство. Пусть произвольный линейный оператор произвольного векторного пространства V над полем K. Пусть далее два различных собственных числа линейного оператора f, – соответствующие собственные векторы оператора f: . Докажем, что .

Допустим противное. Пусть . Тогда и , откуда следует,что

.

Так как u – собственный вектор, то и следовательно, , что противоречит нашему условию.

Лемма доказана.

Следствие. Если – два различных собственных числа матрицы А, то .

Лемма 2. Пусть – система из собственных векторов линейного оператора, отвечающих соответственно его попарно различным собственным числам: . Тогда система является линейно независимой.

Доказательство. Проведем индукцию по числу векторов в системе.

База индукции. Пусть , тогда система из одного собственного вектора является линейно независимой, так как .

Индукционная гипотеза. Пусть лемма верна, когда число векторов в системе равно k.

Индукционный переход. Докажем, что лемма верна, когда число векторов в системе равно .

Допустим, что система собственных векторов является линейно зависимой. Тогда это линейно зависимая система ненулевых векторов, в которой, по индукционной гипотезе, векторы образуют линейно независимую подсистему. Отсюда следует, что вектор линейно выражается через предыдущие векторы этой системы, т.е. существует такой набор скаляров , что

. (1)

В силу линейности оператора f из этого равенства следует, что

.

С другой стороны, – собственные векторы оператора f, т.е.

,

откуда получаем

.

Вычтем из этого равенства равенство (1), умноженное на скаляр . Получаем:

.

Так как система линейно независимая, то все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю:

.

Но, по условию, собственные числа попарно различные, откуда следует, что

.

Из равенства (1) следует, что , что противоречит тому, что вектор является собственным вектором. Полученное противоречие доказывает лемму.

Лемма доказана.

Теорема. (Достаточный признак диагонализируемости матрицы.) Если среди корней характеристического многочлена матрицы нет кратных, то матрица является диагонализируемой.

Доказательство. Если все корни характеристического многочлена матрицы А простые, то они попарно различные и каноническое разложение над полем комплексных чисел имеет вид:

.

Пусть – собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному числу . Тогда, система является линейно независимой системой столбцов пространства , т.е. является базисом этого пространства. Следовательно, по первому необходимому и достаточному признаку диагонализируемости, матрица А является диагонализируемой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Кратность собственного числа матрицы, как корня ее характеристического многочлена, называется алгебраической кратностью собственного числа .

Определение. Пусть – собственное число матрицы, – соответствующее собственное подпространство. Тогда размерность подпространства называется геометрической кратностью собственного числа .

Обозначение. Пусть – собственное число матрицы. Его алгебраическую кратность будем обозначать , а его геометрическую кратность – .

Теорема. (Второй необходимый и достаточный признак диагонализируемости матрицы.) Для того, чтобы матрица была диагонализируемой, необходимо и достаточно, чтобы для каждого её собственного числа его алгебраическая кратность была равна его геометрической кратности:

.

Доказательство. Необходимость примем без доказательства и докажем только достаточность.

Пусть – все различные собственные числа матрицы А порядка n, и – их алгебраические кратности. Тогда

.

С другой стороны, по следствию леммы 1, для всех различных инлексов . Отсюда следует, что сумма всех собственных подпространств является прямой суммой:

,

базисом прямой суммы может служить простое объединение базисов собственных подпространств, откуда следует, что размерность прямой суммы собственных подпространств равна сумме их размерностей:

.

По условию теоремы, для всех собственных чисел,

,

откуда следует, что

.

Прямая сумма собственных подпространств является подпространством пространства : , и имеет размерность n, отсюда следует, что и базис прямой суммы есть базис пространства . Но базис прямой суммы состоит из собственных векторов матрицы А. Следовательно, матрица А является диагонализируемой.

Теорема доказана.

Замечание 1. Так как, по определению, , а , то

,

где n – порядок матрицы А.

Обозначим , тогда и условие диагонализируемости матрицы А можно записать так:

,

для каждого собственного числа .

Замечание 2. Если А – диагонализируемая матрица n-го порядка над полем комплексных чисел С, то существует базис пространства из собственных векторов матрицы А. Чтобы найти этот базис, достаточно объединить базисы всех собственных подпространств.

Замечание 3. Проверяя диагонализируемость матрицы (линейного оператора), достаточно находить геометрическую кратность только тех собственных чисел, чья алгебраическая кратность больше 1, т.к. из второго необходимого и достаточного признака диагонализируемости линейного оператора следует следующее утверждение.

Следствие. Для того, чтобы матрица А была диагонализируемой, необходимо и достаточно, чтобы для каждого её кратного собственного числа его алгебраическая кратность была равна его геометрической кратности.

Доказательство. Необходимость сразу же следует из второго необходимого и достаточного признака диагонализируемости матрицы. Докажем достаточность. Пусть – все различные (попарно различные) собственные числа матрицы А, их кратности, как корней характеристического многочлена. Тогда

.

Пусть – геометрическая кратность корней. Если – кратный корень, то по условию, . Если – простой корень характеристического многочлена, то и , , т.е.

,

т.е. . Отсюда следует, что

, .

Тогда,

.

Но прямая сумма собственных подпространств есть подпространство пространства и его размерность

.

Следовательно, и в объединении базисов собственных подпространств будет ровно n векторов, которые образуют базис прямой суммы. Этот базис будет базисом из собственных векторов матрицы А пространства , откуда следует, что данная матрица А является диагонализируемой, ч.т.д.

Следствие доказано.

6