П.3. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен линейного оператора.

Определение. Уравнение

называется характеристическим уравнением линейного оператора А (матрицы А).

Характеристическое уравнение может быть записано в виде:

.

Действительно, запишем характеристическое уравнение в скалярной форме:

,

и выпишем член определителя, равный произведению его диагональных элементов:

.

Раскроем скобки:

,

где – многочлен, степень которого меньше .

Далее, легко видеть, что все остальные члены определителя содержат не более линейных двучленов вида , и поэтому содержат переменную в степени ниже, чем -я сепень. Отсюда следует, что вычисляя все члены определителя, и, располагая все полученные слагаемые по степеням переменной , мы получаем равенство:

.

Полагая в этом равенстве , мы находим: ,

и, подставляя в равенство, получаем:

.

Умножим обе части этого равенства на :

Определение. Многочлен

называется характеристическим многочленом матрицы А (линейного оператора А).

Определение. Сумма диагональных элементов квадратной матрицы А называется следом матрицы и обозначается

или .

Замечание. Термин "след матрицы" и его обозначение произошло от английского слова "trace", что в переводе обозначает "след". Второе обозначение происходит от немецкого слова "Spur", которое тоже переводится как "след".

Теорема. (Свойства характеристического многочлена.)

1) Степень характеристического многочлена матрицы равна ее порядку.

2) Старший коэффициент характеристического многочлена равен 1.

3) Все корни характеристического многочлена матрицы А являются ее собственными числами.

4) Характеристический многочлен матрицы А является ее инвариантом, т.е. коэффициенты характеристического многочлена не изменяются при изменении базиса векторного пространства .

Доказательство. 1,2). Эти свойства характеристического многочлена прямо следует из его определения.

3). Из теоремы о необходимых и достаточных признаках собственного числа матрицы следует, что скаляр является собственным числом матрицы А тогда и только тогда, когда , т.е. когда является корнем характеристического уравнения. Так как, по определению характеристического многочлена,

,

то отсюда следует, что каждый корень характеристического уравнения будет корнем характеристического многочлена, и наоборот.

4). Матрица А является матрицей линейного оператора А относительно канонического базиса пространства . При изменении базиса, матрица линейного оператора А изменится и станет равной матрице

,

где С – матрица перехода от канонического базиса к новому базису.

Найдем характеристический многочлен матрицы :

.

Ясно, что равенство верное. Используя свойство дистрибутивности умножения матриц относительно их сложения, представим матрицу в виде произведения матриц:

,

и воспользуемся свойством мултипликативности определителя:

,

откуда

,

ч.т.д.

Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

.

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

.

Ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на 2:

.

К 3-му столбцу прибавим 2-й, умноженный на (–2):

.

Раскладываем определитель по элементам 2-й строки:

,

, .

Для каждого собственного числа решим однородную систему линейных уравнений

.

1) . Находим матрицу системы и элементарными преобразованиями строк приводим ее к ступенчатому виду.

.

К 1-й строке прибавим 2-ю, а ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на 2:

.

Отсюда находим:

,

т.е. достаточно найти одно ненулевое решение системы.

Полученная ступенчатая матрица есть матрица системы, равносильная первоначальной. Решаем эту систему:

.

Пусть , тогда . Положим , тогда

.

2) ,

.

Ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на 4, к 3-й – 1-ю, умноженную на (–2):

.

Отсюда находим:

.

Решаем систему

.

Пусть , тогда . Пусть , тогда

.

3) ,

.

Прибавим ко 2-й строке 1-ю, умноженную на (–8), прибавим к 3-й строке 1-ю, умноженную на 4:

, .

Решаем систему:

.

Пусть , тогда . Полагаем , тогда

.

Ответ:

.