Уравнение плоской бегущей волны

Задача: получить уравнение, позволяющее рассчитывать смещение любой точки упругой среды, в которой распространяется волновой процесс, в любой момент времени.

П усть вдоль оси Oz распространяется плоская монохроматическая волна с частотой : это значит, что вектор скорости волны v направлен вдоль OZ, а волновые фронты перпендикулярны этой оси.

П усть смещения точек в плоскости z = 0 происходят по закону

где ₀ - амплитуда колебания точек в плоскости z =0;

t - время колебания точек плоскости z = 0.

Т огда зависимость смещения точек, имеющих координату z, будет зависеть от времени следующим образом:

где - время запаздывания , то есть то время, которое потребовалось волновому процессу, чтобы распространиться на расстояние z. Очевидно, что время колебания точек с координатой z меньше времени колебания точек с координатой z = 0 на время запаздывания .

Уравнение носит название уравнения плоской бегущей волны.

Обратите внимание – уравнение бегущей волны – это функция двух переменных – координаты z и времени t. Зафиксировав координату точки, вы получаете зависимость ее смещения от времени. Зафиксировав время, вы получаете картину мгновенного распределения смещений точек среды, в которой распространяется волна.

Чаще всего уравнение бегущей волны записывают иначе. Преобразуем наше уравнение

О тношение циклической частоты  к скорости волны v обозначили за k – волновое число:

Физический смысл волнового числа: волновое число показывает, как изменяется фаза волны при перемещении на 1 м вдоль направления распространения волны.

В связи с этим произведение kz в уравнении бегущей волны называют запаздыванием по фазе или набегом фазы.

Аналогичное уравнение можно записать для случая волн другой формы. Необходимо лишь учесть изменение амплитуды колебания точек по мере удаления от источника колебаний. Например,

д ля цилиндрической волны

где R – расстояние от прямой, являющейся источником волны;

д ля сферической волны

где r – расстояние до точки, являющейся источником колебаний.

Уравнение бегущей волны позволяет установить связь между скоростью, длиной волны и частотой. Смещения точек, находящихся на расстоянии в длину волны, одинаковые:

Значения косинусов для двух различных аргументов будут одинаковы, если аргументы отличаются на 2π. после

С учетом того, что , получаем . Видим, что длина волны λ – это расстояние, которое проходит волна за время, равное периоду колебания одной частицы.

Фазовая и групповая скорости волн

Уточним введенное ранее понятие скорости волны.

Допустим, в пространстве распространяется монохроматичная волна (волна одной частоты). Уравнение плоской волны имеет . Аргумент косинуса - это фаза. Зафиксируем значение фазы – тем самым мы зафиксируем определенное смещение точки от положения равновесия, допустим «горб» волны. С течением времени слагаемое изменяется, значит, слагаемое тоже должно изменяться, чтобы разность оставалась неизменной. Это означает, что зафиксированный нами «горб» волны перемещается в пространстве. Скорость перемещения этого «горба» (фазы) называется фазовой скоростью волны. Для нахождения фазовой скорости продифференцируем выражение по времени:

Производная от расстояния по времени - это не что иное, как скорость перемещения фазы в пространстве, т.е. фазовая скорость . С учетом того, что , получаем

Таким образом, скорость, входящая в уравнение бегущей волны, – это фазовая скорость.

В общем случае фазовая скорость зависит от частоты волны, т.е. волны разных частот в одной и той же среде распространяются с разной скоростью. Это явление называется дисперсией.

Допустим, в пространстве распространяется группа волн – «волновой пакет». Мы наблюдаем результат наложения этих волн. Например, волновой пакет состоит всего из двух волн близких частот ω₁ и ω₂. На рисунке показаны распределение смещений частиц среды ξ₁ и ξ₂ вдоль оси ОХ в какой-то момент времени. Ниже показана картина наложения смещений частиц. Видно, что будут области, где смещение частиц от положения равновесия максимально. Эти области называют «горбами» волны.

Если волны, образующие волновой пакет, не обладают дисперсией, то картинка наложения волн, перемещаясь в пространстве, не изменяет своей формы.

Если составляющие волнового пакета перемещаются с разными скоростями, то картинка наложения волн с течением времени видоизменяется. «Горб» картины наложения будет перемещаться в пространстве, но его скорость будет отличиться от скорости распространения отдельных составляющих волнового пакета. Скорость перемещения максимума волнового пакета называют групповой скоростью. Найдем связь групповой скорости с фазовой.

Пусть первая волна длиной λ распространяется со скоростью . Вторая волна длиной (λ+dλ) распространяется со скоростью . В какой-то момент времени «горб» волнового пакета совпадает с точкой А.

Вторая волна догоняет первую со скоростью , и в системе отсчета, связанной с первой волной, через время «горб» волнового пакета совпадет с точкой В. Очевидно, что в лабораторной системе отсчета скорость перемещения «горба» будет меньше скорости первой волны

В рассмотренном примере вторая, более длинная волна, распространялась быстрее первой, более короткой волны ( ). Этот случай называют нормальной дисперсией. Групповая скорость в этом случае оказывается меньше фазовой.

Если более короткие волны в пакете будут бежать быстрее длинных ( ), то групповая скорость окажется больше фазовой. Это так называемая аномальная дисперсия.

В жизни практически всегда приходится сталкиваться не с бесконечной монохроматичной волной, а с волновым пакетом. Поэтому скорость волны, измеряемая на практике, это чаще всего групповая скорость.

В дальнейшем мы будем рассматривать в основном идеальный случай – бесконечную синусоидальную волну. Поэтому всюду, если это не оговорено особо, под скоростью волны будем понимать фазовую скорость.