11. Нарисуйте граф процесса гибели и размножения. Как Вы примените этот граф к решению задачи об определении вероятности состояний технической системы с резервированием?

Процесс гибели и размножения является одним из способов описания системы с восстанавливаемыми элементами. Основным предположением является то, что законы распределения отказов и восстановлений элемента – экспоненциальные.

Если в момент времени t процесс находится в состоянии k, то за время Δt могут иметь

м есто следующие несовместные события:

A – процесс перейдёт в состояние k+1;

B – процесс перейдёт в состояние k-1;

C – процесс останется в состоянии k.

И з состояния 0 система может перейти в состояние 1 с вероятностью:

либо остаться в состоянии 0 с вероятностью:

И з состояния n система может перейти в состояние n-1 с вероятностью:

л ибо остаться в состоянии n с вероятностью:

Найдём вероятность того, что за малое время Δt система останется в состоянии k:

Переходя к производной получим систему дифференциальных уравнений:

К райние положения системы:

Н а практике обычно рассматривается стационарный процесс гибели и размножения, при t→∞. При этом имеет место следующее свойство:

Переходя к пределу при t→∞ получим систему алгебраических уравнений:

В ероятность, что система находится в одном из состояний равна 1

В результате решения получим:

Одной из основных характеристик процесса является среднее состояние:

П усть в данной системе под состоянием k

подразумевается число неисправных элементов.

λ_k – суммарная интенсивность отказов

μ_k – суммарная интенсивность восстановлений

Суммарное число элементов: N=n+m+l+s.

Система работает исправно, пока число рабочих

элементов не меньше n.

13) Что Вы понимаете под предупредительными заменами стареющих элементов, основанными на наработке на отказ? Каким образом определяются плановые сроки замены оборудования при его предупредительных заменах?

Предупредительной заменой называется такая замена, при которой элемент заменяется либо через плановый срок службы t_пл, либо после его выхода из строя, если это время наступает раньше t_пл.

Функция надёжности элемента при предупредительных заменах

Характеристика надёжности – среднее время наработки на отказ при предупредительных заменах

- функция надёжности при n предупредительных заменах

- функция надёжности элемента без учёта предупредительных замен

Рассмотрим функцию надёжности при одной предупредительной замене:

Событие A заключается в том, что элемент проработает в течение времени t

Событие B – элемент проработал в течение времени t_пл.

Событие C – заменённый элемент проработал в течение времени t-t_пл.

При n предупредительных заменах:

О пределение среднего времени эксплуатации с учётом предупредительных замен

Следует отметить, что при экспоненциальном законе надёжности (без старения),

выигрыша от предупредительных замен нет:

Средний срок службы элемента при n предупредительных заменах:

Выполняется замена переменной:

Определение среднего времени эксплуатации с учётом предупредительных замен

• с реднее время эксплуатации элемента при n плановых заменах

При бесконечном количестве плановых замен среднее время эксплуатации

с тремится к пределу: