5) Надёжность восстанавливаемого элемента

Под восстановлением элемента понимают либо замену вышедшего из строя элемента новым, либо такой ремонт, при котором исходные свойства объекта полностью восстанавливаются.

Предполагается что время восстановления пренебрежимо мало, по сравнению с временем эксплуатации элемента (восстановление происходит мгновенно).

Процесс восстановления

1. Время восстановления пренебрежимо мало по сравнению с временем эксплуатации

- случайное время до n-го отказа

2. Время восстановления сопоставимо со временем эксплуатации элемента

- случайное время до n-го отказа

• случайное время ремонта k-го элемента

- случайное время эксплуатации k-го элемента

Закон распределения потока отказов

По определению функции распределения системы случайных

величин:

Так как случайные величины T₁ и T₂ независимы, функция

р аспределения их системы:

• композиция законов распределения случайных

времён эксплуатации и есть функция распределения

потока отказов.

Так как в результате замены или ремонта получаем элемент с идентичными свойствами:

С использованием обозначений, принятых в теории надёжности получим:

выражение закона распределения при двух отказах

Среднее число отказов за время t:

7. В случае эксплуатации элемента с заменами при пренебрежимо малом времени его восстановления как определить наименьшее число запасных элементов, обеспечивающих нормальную эксплуатации Вашей установки?

Примем, что поток отказов элемента является простейшим потоком, т. е. потоком Пуассона. Вероятность того, что за время t произойдет ровно k отказов (3.1)

Вероятность того, что за время t число отказов превысит n, будет . (3.2)

При большом значении n ряд, входящий в (3.2), может быть при использовании центральной предельной теоремы Ляпунова просуммирован: , (3.3)

где – функция (интеграл) Лапласа;

– математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение времени наступления n-го отказа (Т_n.).

Решение задачи

Для надежной эксплуатации элемента необходимо, чтобы число запасных элементов n отвечало условию где Р = 0.90; 0.95 и 0.99. Следовательно:

и . n  9

8. Поясните понятие «коэффициент готовности». Как определяется коэффициент готовности в стационарном режиме эксплуатации элемента в случае Пуассоновского потока отказов и восстановлений?

Коэффициентом готовности k_г(t) называют вероятность того, что в момент времени t

элемент находится в исправном состоянии.

Допустим, что случайные времена эксплуатации и восстановления распределены по

экспоненциальному закону. При этом потоки отказов и восстановлений являются

потоками Пуассона.

- закон распределения времени эксплуатации

- закон распределения времени восстановления

‑ случайное время эксплуатации k-го элемента

‑ случайное время ремонта k-го элемента

П усть величина k_г(t) определена. Необходимо определить величину k_г(t+Δt).

Элемент останется в работе за время Δt, если за это время не будет отказов (событие С),

или произойдёт восстановление (событие D).

‑ вероятность отсутствия отказа за время Δt

‑ вероятность, что за время Δt будет восстановление

‑ определение коэффициента готовности

‑ вначале элемент всегда в рабочем состоянии

‑ переход к производной k_г(t)

‑ для решения дифференциального уравнения удобно применить операторный метод.

Переходя к оригиналу, получим:

‑ мат. ожидание времени эксплуатации

‑ мат. ожидание времени восстановления

№9 Поясните понятие « последовательное и параллельное соединение элементов в смысле надежности». При известной функции надежности единичного элемента запишите выражения для функции надежности системы, состоящей либо из последовательного, либо из параллельного соединения элементов в смысле надежности.

При последовательном соединении элементов в смысле надежности понимается такое их соединение, при котором отказ любого элемента приводит к отказу системы в целом.

При параллельном соединении элементов в смысле надежности понимается такое их соединение, при котором отказ системы происходит лишь при отказе всех элементов.

Безотказная работа системы состоящей из последовательно соединенных элементов это одновременное наступление событий безотказной работы всех элементов.

Для независимых событий вероятность есть произведение их вероятностей. Значит, функция надежности системы есть произведение функций надежности:

Ф ункция надежности через интенсивности отказов элементов:

Отказ системы состоящей из параллельно соединенных элементов это одновременное наступление событий отказов всех элементов.

Функция ненадежности системы есть произведение функций ненадежности:

;

Функция надежности системы:

10 Как определяются средние времена эксплуатации системы, состоящей либо из последовательного, либо из параллельного соединения элементов в смысле надежности, если интенсивности отказов всех элементов одинаковы?

Последовательное соединение

Параллельное соединение

- постоянная Эйлера

- постоянная Эйлера