- •1)Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.
- •Вопрос 21.Ортогональная, ортонормированная матрица, неквадратная матрица с ортогональными (ортонормированными) столбцами.
- •Вопрос 22.Обращение матрицы методом Гаусса
- •Вопрос 23.Разложение матрицы в произведение ортогональной и треугольной (метод Шмидта)
- •Вопрос 24.Ортогональные функции и ортогональные полиномы
- •Вопрос 25.Построение полинома ортогонального на дискретной системе точек
- •По моментам весовой функции
- •По рекуррентным формулам
- •Вопрос 26.Собственные векторы и собственные числа матрицы
- •Вопрос 27.Матрица простой структуры, ее свойства
- •Вопрос 28.Сингулярное разложение
- •Вопрос 29.Нормы векторов и матриц Норма вектора
- •Норма матрицы
- •Вопрос 30.Метрическое векторное пространство
- •Вопрос 32.Градиент, свойства градиента
- •Вопрос 33.Матричная форма записи ряда Тейлора. Формула Тейлора
- •Различные формы остаточного члена
- •Вопрос 34.Минимизация погрешности интерполяции
- •Вопрос 35.Обобщенный подход к процессу интерполяции Интерполяция функций интерполяционными полиномами
- •Задача интерполяции функции, интерполяционные полиномы
- •Вопрос 36.Численное взятие производной.
- •Введение
- •Погрешность вычислений
- •Вопрос 37.Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Метод Гаусса
- •Вопрос 38.Матрица перестановок
- •Определение
- •Свойства
- •Вопрос 39.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Вопрос 40.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом вращения Метод вращения
- •40.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом вращения
- •41.Решение системы линейных уравнений методом факторизации матрицы
- •42.Итерационный процесс решения систем линейных алгебраических уравнений
- •43.Функции невязки, ошибок
- •44.Метод простой итерации
- •45.Итерационный метод смещения
- •Пример.
- •46) Метод Якоби
- •47) Метод Зейделя
- •48) Метод релаксации Метод релаксации - итерационный метод решения систем линейных уравнений.
- •49) Метод Чебышева
- •50/51) Метод минимальных невязок (Одношаговый, двухшаговый - гугл не нашел )
- •52) Решение нелинейного уравнения одной переменной методом дихотомии
- •53) Метод золотого сечения
- •56) Симплекс метод (метод Нелдера – Мида)
- •57) Метод наискорейшего спуска
- •59) Решение систем нелинейных уравнений нескольких переменных методом Ньютона
- •60.Решение нелинейного уравнения нескольких переменных методом Левенберга - Марквардта
- •61.Решение системы нелинейных уравнений методом спуска
- •62.Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
- •63.Решение системы нелинейных уравнений методом Левенберга - Марквардта
- •64.Структура м – функции
- •65.Арифметические операторы Матлаб
- •65)Арифметические операторы.
Вопрос 27.Матрица простой структуры, ее свойства
Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица простой структуры-это матрица этого оператора, в ней по диагонали стоят собственные числа.Матрицей простой структуры называются матрицы, которые с помощью преобразования подобия можно привести к диагональному виду. Теорема 4.2. Матрица А является матрицей простой структуры тогда и только тогда, когда она имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2,…, en, отвечающих собственным значениям λ λ λn, ,... 1 2соответственно.
Теорема 4.3. Если все собственные значения матрицы А различны, то она является матрицей простой структуры.
Теорема 4.4. Если А-вещественная симметричная матрица, то она подобна диагональной матрице, причем матрица подобия Р может быть выбрана ортогональной (т.е. удовлетворяющей условию P-1=PТ).
Вопрос 28.Сингулярное разложение
Сингуля́рное разложе́ние (англ. singular value decomposition, SVD) — это разложение прямоугольной вещественной или комплексной матрицы, применяющееся во многих областях прикладной математики. Сингулярное разложение может быть использовано, например, для нахождения ранга и ядра матриц, псевдообратных матриц, приближения матриц матрицами заданного ранга. Любая матрица порядка , элементы которой — комплексные числа, может быть представлена в следующем виде, называемом сингулярным разложениемматрицы :
где — унитарная матрица порядка , — диагональная матрица порядка с неотрицательными вещественными числами на диагонали, — унитарная матрица порядка , а — сопряжённо-транспонированная матрица к .
Под диагональной прямоугольной матрицей здесь понимается матрица такая, что все её недиагональные элементы равны нулю:
если
В частном случае, когда состоит из вещественных чисел, существует сингулярное разложение вида , в котором и — ортогональные матрицы.
Элементы на диагонали матрицы называются сингулярными числами матрицы и определены с точностью до их перестановки. Обычно требуют, чтобы они располагались в матрице в невозрастающем порядке — тогда (но не и ) однозначно определяется по матрице . Столбцы матриц и называются, соответственно, левыми и правыми сингулярными векторами.
Пусть дана матрица:
Одним из сингулярных разложений этой матрицы является разложение , где матрицы , и следующие:
так как матрицы и унитарны ( и , где — единичная матрица), а — прямоугольная диагональная матрица, то есть , если .
Вопрос 29.Нормы векторов и матриц Норма вектора
Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал , обладающий следующими свойствами:
(неравенство треугольника);
Эти условия являются аксиомами нормы.
Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.
Нетрудно видеть, что из аксиом нормы вытекает свойство неотрицательности нормы:
4.
Действительно:
Из 3 получаем, что . Теперь из 2 получаем . Таким образом, .
Чаще всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента векторного пространства .
Вектор с единичной нормой ( ) называется нормальным или нормированным.
Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.