![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1)Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.
- •Вопрос 21.Ортогональная, ортонормированная матрица, неквадратная матрица с ортогональными (ортонормированными) столбцами.
- •Вопрос 22.Обращение матрицы методом Гаусса
- •Вопрос 23.Разложение матрицы в произведение ортогональной и треугольной (метод Шмидта)
- •Вопрос 24.Ортогональные функции и ортогональные полиномы
- •Вопрос 25.Построение полинома ортогонального на дискретной системе точек
- •По моментам весовой функции
- •По рекуррентным формулам
- •Вопрос 26.Собственные векторы и собственные числа матрицы
- •Вопрос 27.Матрица простой структуры, ее свойства
- •Вопрос 28.Сингулярное разложение
- •Вопрос 29.Нормы векторов и матриц Норма вектора
- •Норма матрицы
- •Вопрос 30.Метрическое векторное пространство
- •Вопрос 32.Градиент, свойства градиента
- •Вопрос 33.Матричная форма записи ряда Тейлора. Формула Тейлора
- •Различные формы остаточного члена
- •Вопрос 34.Минимизация погрешности интерполяции
- •Вопрос 35.Обобщенный подход к процессу интерполяции Интерполяция функций интерполяционными полиномами
- •Задача интерполяции функции, интерполяционные полиномы
- •Вопрос 36.Численное взятие производной.
- •Введение
- •Погрешность вычислений
- •Вопрос 37.Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Метод Гаусса
- •Вопрос 38.Матрица перестановок
- •Определение
- •Свойства
- •Вопрос 39.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Вопрос 40.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом вращения Метод вращения
- •40.Решение системы линейных алгебраических уравнений методом вращения
- •41.Решение системы линейных уравнений методом факторизации матрицы
- •42.Итерационный процесс решения систем линейных алгебраических уравнений
- •43.Функции невязки, ошибок
- •44.Метод простой итерации
- •45.Итерационный метод смещения
- •Пример.
- •46) Метод Якоби
- •47) Метод Зейделя
- •48) Метод релаксации Метод релаксации - итерационный метод решения систем линейных уравнений.
- •49) Метод Чебышева
- •50/51) Метод минимальных невязок (Одношаговый, двухшаговый - гугл не нашел )
- •52) Решение нелинейного уравнения одной переменной методом дихотомии
- •53) Метод золотого сечения
- •56) Симплекс метод (метод Нелдера – Мида)
- •57) Метод наискорейшего спуска
- •59) Решение систем нелинейных уравнений нескольких переменных методом Ньютона
- •60.Решение нелинейного уравнения нескольких переменных методом Левенберга - Марквардта
- •61.Решение системы нелинейных уравнений методом спуска
- •62.Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
- •63.Решение системы нелинейных уравнений методом Левенберга - Марквардта
- •64.Структура м – функции
- •65.Арифметические операторы Матлаб
- •65)Арифметические операторы.
47) Метод Зейделя
Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвестных x1, x2, …, xi - 1.
Пусть
получена эквивалентная система (18).
Выберем произвольно начальные приближения
корней
.
Далее, предполагая, что k-ые приближения
корней известны, согласно Зейделю будем
строить (k + 1)-е приближения корней по
формулам:
Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.
Пример 8. Методом Зейделя решить систему уравнений
Приведем эту систему к виду, удобному для итерации:
В
качестве нулевых приближений корней
возьмем:
Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:
Результаты вычислений с точностью до четырех знаков приведены в Таблице 2.
Таблица 2: Нахождение корней линейной системы методом Зейделя
i |
|
|
|
0. |
1,2000 |
0,0000 |
0,000 |
|
1,2000 |
1,0600 |
0,9480 |
|
0,9992 |
1,0054 |
0,9991 |
|
0,9996 |
1,0001 |
1,0001 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
|
1,000 |
1,000 |
1,000 |
Точные значения корней: х1 = 1; х2 = 1; х3 = 1.
48) Метод релаксации Метод релаксации - итерационный метод решения систем линейных уравнений.
Система линейных уравнений
приводится к виду
Где
,
,
Находятся
невязки (ошибки (погрешности) в результате
вычислений)
:
Выбирается
начальное приближение
.
На каждом шаге необходимо обратить в
ноль максимальную невязку:
.
Условие остановки:
.
Ответ находится по формуле:
.
49) Метод Чебышева
Метод получения класса итерационных алгоритмов нахождения однократного действительного корня уравнения f(x)=0, (1), где f(х) - достаточно гладкая функция.
В
основе метода лежит формальное
представление обратной к f(х)функции
x=F(y)пo формуле Тейлора. Если - достаточно
точное приближение для корня х уравнения
(1),
то
где
коэффициенты
рекуррентно определяются из соотношения
через коэффициенты Тейлора
функции
Полагая в (2) y=0, получают
соотношение
Несколько членов справа в (3) дают формулы итерационного алгоритма; так при двух членах получается Ньютона метод, а при трех членах получается итерационный метод вида
С ростом числа учитываемых в (3) членов возрастает скорость сходимости х п к х(см. [2]). Метод может быть распространен на функциональные уравнения (см. [3]).
50/51) Метод минимальных невязок (Одношаговый, двухшаговый - гугл не нашел )
итерационный метод решения линейного операторного уравнения
с
самосопряженным положительно определенным
ограниченным оператором А, действующим
в гильбертовом пространстве Н, и заданным
элементом
.
Формулы М. н. м. имеют вид
где параметр
выбирается на каждом шаге
из условия максимальной минимизации
нормы невязки
т. е. требуется выполнение соотношения
Если
спектр оператора А принадлежит отрезку
[ т, М] действительной оси, где
- положительные числа, то последовательные
приближения
метода (2) -(3) сходятся к решению
уравнения (1) со скоростью геометрич.
прогрессии со знаменателем
Различные способы определения в H скалярного произведения приводят к различным итерационным методам. В частности, при специальных скалярных произведениях формулы М. н. м. совпадают с формулами наискорейшего спуска метода и метода минимальных ошибок (см. [2]).
Условия сходимости М. н. м. могут быть ослаблены по сравнению с перечисленными выше: если рассматривать на нек-рых подмножествах из H.
Напр., если рассматривать М. н. м. только в действительных пространствах, то можно отказаться от требования самосопряженности оператора А(см. [3], [4]).