32. Сущность динамического преобразователя. Одномерный динамический преобразователь и его модельное воспроизведение.

При анализе экономических процессов отсутствует априорная информация о количественных закономерностях, присущих причинно-следственным связям между показателями. Анализ существенно усложняется многообразием динамических свойств экономической системы, порождающих разнообразие по форме и длительности переходные процессы. Они проявляются в виде временных запаздываний (лагов) реакции экономического объекта на внешнее воздействие. Необходимость учета стохастики и недостаток априорной информации – две важнейшие особенности экономико-математического моделирования. Они связаны и с третьей особенностью – моделированием экономики как динамической системы.

В теории и практике экономико-математического моделирования находят применение различные типы динамических преобразователей. Эти различия обусловлены двумя обстоятельствами: А) способом представления переменных - непрерывным или дискретным. По этому признаку различают модели, формируемые соответственно в виде дифференциальных или конечно-разностных уравнений; Б) формой связи между показателями, включенными в модель - линейной или нелинейной (в реале – чаще нелинейный характер, однако решение не всегда возможно – поэтому обычно линеаризируют зависимости).

Д ля одномерной динамической модели с входом X(t) и с выходом Y(t) дифференциальное линейное уравнение порядка q имеет вид

(1)

При исследовании линейного преобразователя, описываемого уравнением, пользуются т.н. динамической (частотой) характеристикой, под которой понимают его реакцию на то или иное типовое воздействие при нулевых начальных условиях (т.е. принимают, что в начальный момент времени преобразователь находится в покое).

Выходная функция, называемая в этом случае его нормальной реакцией, однозначно определяется динамическими свойствами преобразователя.

В качестве одной из таких характеристик принимают его реакцию на ступенчатый вход. Порождаемая при этом выходная функция является переходной характеристикой (или переходной функцией) динамической системы. Знание этой функции позволяет найти реакцию линейной динамической системы на произвольное входное воздействие, так как любая непрерывная функция может быть аппроксимирован бесконечным множеством скачков (рис)

В общем случае переходная функция y(t) непрерывной динамической системы определяется решением дифференциального уравнения (1) с правой частью, заданной в виде единичной ступенчатой функции x(t)=1(t)' (<- : 0 при t<=0 и 1 при t>0) при нулевых начальных условиях.

Для простейшего динамичесокго преобразователя, называемого часто динамичсеким (или инерционным) звеном первого порядка, дифференциальное уравнение его переходной функции запишется в следующем виде:

.

Здесь - коэффициент при первой производной выходной функции (скорости изменения выходного показателя), характеризует демпфирующие свойства динамического преобразователя (демпфирование реакции системы на входное воздействие – запаздывание выхода преобразователя относительно входа). Если параметр уменьшается, то переходной процесс протекает быстрее, а при преобразователь становится кинематическим. Динамичсекий преобразователь первоо порядка часто используется в э-м моделях для воспроизведения в них эффектов запаздывания.