Метод Магу для нахождения внешне устойчивых множеств.

Множество Т внешне устойчиво, если

Тогда будет справедливо след. высказывание:

(1)

Введем булевые переменные:

Перейдем от кванторной записи через выск. (1) к записи через логические операции

По матрице смежности вершин или по графу составляем, в соответствии с последним выражением, булеву формулу, раскрываем в ней скобки, минимизируем, используя правило поглощения. В полученном выражении каждый конъюнктивный член будет определять минимальное внешне устойчивое подмножество.

12. Понятие ядра графа. Свойства ядер.

Пусть дан граф G=(X, Γ).

наз. ядром графа, если оно одновременно внутренне и внешне устойчивое подмножество.

Отсюда следует, что ядро графа содержит всякую вершину и не содержит никакой вершины с петлями. Граф может содержать несколько ядер, а может не содержать их вообще.

Метод Магу для выделения ядер графа.

Т.к. ядро графа одновременно и внутренне и внешне устойчивое множество, то должно выполнятся:

формула для ядер графа

Свойства ядер графа

1. N – максимальное внешне устойчивое подмножество.

Док-во. Предположим, что ядра графа – внешне устойчивое, но не максимальное подмножество.

Т.к. N –ядро, то , значит Ψ – не внутренне устойчивое.

2. Если G – неорграф без петель, тогда любое максимальное внешне устойчивое подмножество является ядром графа.

Док-во: Рассмотрим любое максимальное внутренне устойчивое множество Ψ.

Предположим, что это не так.

, тогда построим новое множество.

, которое является внутренне устойчивым, но это противоречит максимальности Ψ. Вывод: любое максимальное внутренне устойчивое множество Ψ является ядром графа.

3. Пусть задан граф G без петель. Для того, чтобы множество вершин N было ядром графа необходимо и достаточно, чтобы оно было одновременно максимальным внутренне устойчивым и минимальным внешне устойчивым множеством.

4. Для ядра графа N выполняется след. неравенство:

- число внешней устойчивости

- число внутренней устойчивости

Это следует из определения ядра графа (с учетом св-ва (3))