Связные компоненты.

Пусть дан граф G=(X, U, F). Две вершины x,y наз. связанными, если существует маршрут с концами в x,y. Граф наз. связным, если любая пара его вершин связана. Каждая вершина считается связанной сама с собой. Если в простом графе x связана с y, то y связана c x.

Отношение связности вершин рефлексивно, т.к. полагается, что вершина связана сама с собой, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Значит с ним сопряжено единственное разбиение множества вершин графа на классы попарно связанных вершин. Каждый такой класс в графе порождает подграф, наз. компонентой связности. Если граф связный, то он содержит единственную компоненту связности. Каждая компонента связности представляет собой самостоятельный граф.

Т. Если в конечном графе имеются только две вершины с нечетной степенью, то они связаны.

Док-во: Число вершин с нечетной степенью в графе – четно. Это справедливо для каждой компоненты связности графа, т.к. она представляет собой самостоятельный граф. Значит, если одна из вершин с нечетной степенью попала в какую-то компоненту, то и вторая попадет туда же, т.к. их всего две, следовательно, они будут связаны.

7. Понятие эйлерова графа. Теорема о достаточном условии.

Задача Эйлера: можно ли в графе пройти по всем ребрам по одному разу и вернуться в исходную точку? Такой цикл наз. эйлеровым. Граф, содержащий эйлеровый цикл наз. эйлеровым графом.

Т. Граф является эйлеровым, если он связен и степени всех вершин – четные и наоборот.

Док-во:

а) Необходимость

Пусть граф G – эйлеров. Условие связности явл. очевидным. Каждый раз, когда эйлеров цикл заходит в какую-либо вершину по одному ребру – он должен выйти по другому, поэтому степень каждой вершины четная.

б) Достаточность

Предположим, что условия теоремы выполняются. Начнем строить цепь P в произвольной вершине x графа G, и будем продолжать строить до тех пор, пока будут попадаться новые ребра. Т.к. в каждой вершине степень четная, эта процедура может закончиться только в вершине x. Если цепь P содержит не все ребра графа, то удалим из графа G часть P, образованную ребрами цепи P. . Часть также имеет четные степени. Т.к. исходный граф G связен, то в части P должна найтись вершина y, инцидентная как части P, так и части . Из этой вершины y можно построить новую цепь P`, содержащую только ребра из . И снова также цепь может закончиться только в вершине y. При этом из цепей P и P` можно составить новый цикл: P1=P(x, y) UP`(y, y) UP(y, x). Если цикл P1 содержит не все ребра графа, то удалим его из графа и повторим процедуру. Т.к. число ребер графа найдено – в итоге мы получим цикл ,проходящий по всем ребрам, т.е.являющийся эйлеровым.

Ориентированным эйлеровым циклом наз. цикл, проходящий по всем дугам с учетом их ориентации.

Т. Чтобы орграф был эйлеровым необходимо и достаточно, чтобы в каждой вершине полустепень захода равнялась полустепени исхода.

Эйлерова цепь – цепь, содержащая все ребра сразу. Граф с эйлеровой цепью может иметь две вершины с нечетной степенью.