2. Определение устойчивости системы

2.1. Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица

Критерий Гурвица: при положительных коэффициентах характеристического уравнения линейной системы с характеристическим полиномом D(p)= a₀pⁿ + a₁p^n-1 +…+ a_n-1p + a_n для её устойчивости должны быть больше нуля все n главных определителей матрицы Гурвица:

Характеристический полином:

(2.2)

Приравняем характеристический полином к нулю D(p)=0:

(2.3)

Разложим функцию в ряд Маклорена

Для упрощения расчетов будем рассматривать первые три члена, т.к. остальные малы:

(2.4)

Мы можем себе это позволить, поскольку значение выражения отличается от значения меньше, чем на 5%.

Проведем расчеты с помощью MathCad:

Тогда, с учетом выражения (2.4), выражение (2.3) примет вид:

(2.5)

Подставив числовые значения

550(с^-1);

Т = 0,15492(c) – новая постоянная времени двигателя;

 =0,96825- параметр затухания;

 = 0,009 (с) - время чистого запаздывания;

T_т =0,05 c - постоянная времени термопары.

, (2.6)

где:

;

;

;

;

.

Очевидно, что необходимое условие устойчивости не выполняется, т.к. a₃<0. Тем не менее, найдём определители матрицы Гурвица. Формируем матрицу Гурвица. На главной диагонали записываем все коэффициенты, начиная с первого. Далее заполняем строки: четными коэффициентами по порядку, если на главной диагонали стоит четный коэффициент, и нечетными, если на главной диагонали стоит нечетный коэффициент. Если какой-либо коэффициент отсутствует, то вместо него заносится нуль.

С учетом коэффициентов матрица Гурвица примет вид:

Для оценки устойчивости системы необходимо вычислить определители Гурвица _i (i=1,2,…,n), которые получаются из матрицы путем отчеркивания равного количества строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы. Для устойчивости системы все определители матрицы должны быть положительными:

Данные определители можно посчитать вручную, а можно с использованием программы MathCad. Для этого запишем матрицу Гурвица:

и рассчитаем ее определители:

Третий и четвёртый определители матрицы Гурвица меньше нуля, значит система неустойчива.

2.2. Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова

Согласно частотному критерию Михайлова для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(j) при изменении  от 0 до  равнялось nπ/2.

Характеристический вектор Михайлова:

D(j) = X()+jY() = D()e^j() , (2.7)

где X() и Y() действительная и мнимая части характеристического вектора, а D() и () его модуль и аргумент.

Характеристический полином системы имеет вид

Найдем годограф характеристического вектора.

Для наглядного представления построим годограф Михайлова

Рис.2.1 годограф Михайлова

Из приведенного графика видно, что система неустойчива. Система не проходит 4 квадранта против часовой стрелки.