19.Принцип экстремума для уравнений теплопроводности.
При рассмотрении процесса распространения тепла в областях, ограниченных необходимо учитывать не только начальное распределение температуры, но и те процессы, которые происходят на границе этой области. Границу области в пространстве любой размерности будем обозначать через Γ, а саму область Ω. В зависимости от задания условий на границе различают три типа граничных (смешанных) задач.
1
)
– первая граничная задача.
2)
– вторая граничная задача. Где
– нормаль в точках границы.
3)
–
третья краевая задача.
Рассмотрим
задачу:
,
где
.
Обозначим через 
,
.
Принцип:
Функция
удовлетворяющая уравнению
в цилиндре и непрерывна вплоть до его
границы
принимает своё наибольшее и наименьшее
значение либо на нижнем основании
цилиндра (область Ω ), либо на его боковой
поверхности.
20.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Утверждение : Задача Коши для уравнения теплороводности не может иметь более одного ограниченного решения.
Пусть
имеем задачу
(1)
Решение задачи (1) есть сумма решения двух задач:
(2)
(3)
Решение задачи (2) есть свёртка начального условия и соответствующей функции источника (функции Грина).
Теорема: Решение задачи Коши устойчиво т.е. малое изменения начальных условий влечёт за собой малое изменение решений.
Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим
задачу
(t,x)=[0,T]×Ω
Rn
Эта
задача имеет бесконечное множество
решений. Рассмотрит подмножество
решений, будем рассматривать |U(t,x)|
M
(т.е. будем рассматривать ограниченные
решения).
Теорема: (Задача Коши для уравнения теплопроводности)
Она имеет не более одного ограниченного решения.
21.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.
задача
Штурма – Лиувилля.
Собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля обладают рядом свойств:
1.
Если
– собственная функция, отвечающая
собственному значению
,
то и
также
собственная функция, отвечающая этому
же собственному значению.
2.
Если
и
-
собственные функции, отвечающие
собственному значению
,
то
также
собственная функция, отвечающая
собственному значению
.
3.
Собственные функции
и
соответствующие различным собственным
значениям
и
являются ортогональными в области
с весом
.
4. Все собственные значения задачи Штурма – Лиувилля вещественны.
5. Все собственные значения неотрицательны.
22.Метод Фурье решения смешанных задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.
L[X,[x]]+
(1)
,
где
L[U}=div(k(x)gradU)=q(x)U
Среди
множества решений задачи (1) будем искать
решения представления в виде
U(t,x)=T(t)X(x).
Т.к. функция U(t,x)
должна удовлетворять граничным условиям
(1), то
(2)
задача (2) или задача Штурма-Лиувиля
(3)
Допустим,
что мы решили задачу Ш-Л тогда мы нашли
собственные функции
и собственные значения
.
Подставив в уравнение в место
,
Составим (сумму) произведение
(4)
Подберем
таким образом, что бы выполнялось
начальные условие задачи (1) для этого
в ряд (4) подставим
.