- •1.Классификация уравнений в частных производных в точке (в области).
- •2.Приведение к каноническому виду уравнения 2 – го порядка в случае
- •3.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в случае независимых переменных.
- •4.Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской
- •5.Корректность постановки задачи. Пример Адамара.
- •6. Уравнения колебания струны
- •7.Малые продольные колебания упругого стержня
- •8.Малые крутильные колебания вала.
- •9. Телеграфное уравнение. Частные случаи.
- •10. Уравнение колебания мембраны
- •11. Уравнение теплопроводности
- •12.Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
- •13.Осреднение функции на сфере и трехмерное волновое уравнение.
- •14.Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа
- •15.Задача Коши для волнового уравнения. Метод спуска. Формула Пуассона.
- •16.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •17.Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.
- •18.Задача Коши для уравнения теплопроводности.
- •19.Принцип экстремума для уравнений теплопроводности.
- •20.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •21.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.
- •22.Метод Фурье решения смешанных задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.
- •23.Самосопряженность дифференциального оператора. Формулы Грина.
- •24.Смешанные задачи для неоднородных уравнений. Задачи с неоднородными граничными условиями.
- •25.Единственность решений смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
- •26.Свободные колебания прямоугольной мембраны.
- •27.Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.
- •28.Радиальные колебания круглой мембраны.
- •29.Крутильные колебания вала с диском на конце.
- •30.Уравнение эллиптического типа.
- •31. Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа
- •32. Решение задачи Дирихле для ур-я Лапласа внутри и вне круга.
- •33.Внутренняя и внешняя задача Неймана для круга. Необходимое условие существования. Теорема Гаусса
- •34. Метод Фурье решения задач Дирихле и Неймана для круговых областей.
- •35. Интегральное представление произвольной функции
- •36. Свойства гармонических функций: аналитичность и теорема о среднем на сфере
- •37.Свойства гармонических функций: принцип максимума/минимума.
- •38 Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.
- •39. Функция Грина в задаче Дирихле.
- •40.Функция Грина в задаче Неймана.
- •41.Формула Пуассона решения внутр. Задачи Дирихле для шара
- •42.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга
- •43.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля
- •44. Поведение производных гармонической функции на бесконечности.
- •45. Единственность решения задачи Неймана.
- •46.Потенциалы:объемный, простого слоя, двойного слоя.
- •47. Свойства объемного потенциала
- •48. Свойства потенциала простого слоя
- •49.Свойства потенциалов двойного слоя.
- •50.Сведение краевых задач к интегральным уравнениям
30.Уравнение эллиптического типа.
К уравнениям эллиптического типа относятся уравнения, с помощью которых описываются стационарные процессы(характеристики процесса не меняются со временем)
уравнение распространения тепла в пр-ве
С физической точки зрения внутренние источники тепла. Тогда получаем уравнение:
Уравнение вида
(1)
где называется уравнением Пуассона.
самое простое уравнение Пуассона.
Если , то уравнение называется уравнением Лапласса.
Если у нас есть уравнение (1) и к нему добавлено граничное условие
, (2)
То задача носит название задачи Дирихле.
Пример.
внутренняя задача Дирихле.
Решение вне круга – внешняя задача Дирихле.
Если на границе задана производная по нормали , (3)
Тогда задача (1),(3) носит название задачи Неймана.
Пример. Если дано
Задается уравнение (1) и
, (4)
То задача носит название третьей краевой задачи(граничные условия III-го рода).
31. Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа
- уравнение Лапласа
Найти общее решение этого уравнения мы не можем, как и уравнение теплопроводности. Зато можно указать бесконечно много частных решений этого уравнения. Среди решений данного уравнения некоторые называются гармоническими функциями.
Опр: функция называется гармонической в ограниченной области , если она непрерывна в этой области и имеет непрерывные производные второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Функция называется гармонической в неограниченной области, если она удовлетворяет следующим условиям:
Функция является гармонической, в любой ограниченной подобласти.
, где - размерность пространства
Из последнего условия следует что при , при и , при
Функция называется аналитической, если
Следовательно, действительная часть аналитической функции одной комплексной переменной является функцией гармонической в любой ограниченной области. Продифференцировав первое уравнение по y, второе по x, получим - тоже гармоническая функция.
Рассмотрим функцию
Следовательно, и являются функциями гармоническими в круге любого конечного радиуса.
Рассмотрим функцию
- гармоническая функция с радиусом , но .
Вспомним о решении уравнения Лапласа с помощью которого получилась формула Пуассона для уравнения теплопроводности. Уравнение Лапласа имеет много частных решений. Среди этих решений выделим решение обладающее некоторой симметричностью. В частности . Найдем решение Лапласа не зависящее от .
Положим , тогда
Положим , тогда
, - площадь поверхности в сфере единичного радиуса в - мерном пространстве.
.
32. Решение задачи Дирихле для ур-я Лапласа внутри и вне круга.
Если дано задача Дирихле замена
Разложим ф-цию в ряд по ф-циям :
, где
Решение нашей задачи будем искать в виде . явл-ся гармон. положим . При этом выборе ф-ция U будет явл.гармонич. внутри круга. Подберём т.о., чтобы выполнялось условие на границе: должен совпадать с рядом (1). Это будет в том случ., когда: . Реш-е внутр. Задачи Дирихле для ур-я Лапласа в круге запишем как: . Заметим, что реш-е внешн. задачи Дирихле определим формулой: . Возникает вопрос, представл. ли ряд, дающий реш-е задачи Дирихле внутри круга некот. ф-цию.
Коэф-ты подставим в ряд, получим
Последняя ф-ла носит название интеграла Пуассона. Задача - ф-ла Пуассона реш-я внутр. задачи Дирихле. Реш-е внешней задачи определяется такой же ф-лой только со знаком “-“.