Центральная предельная теорема

Теорема Ляпунова. Рассмотрим n независимых случайных величин Х₁, Х₂,…,Х_n, удовлетворяющих условиям:

1. все величины имеют определенные математические ожидания и конечные дисперсии;

2. ни одна из величин не выделяется резко от остальных по своим значениям.

Тогда при неограниченном возрастании n распределение случайной величины приближается к нормальному закону.

Таким образом, имеем следующую асимптотическую формулу:

, где .

2. Статистическое оценивание

2.1

Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости. Это свойство заключается в том, что, хотя результат Х отдельного опыта не может быть предсказан с достаточной точностью, значение некоторой функции от результатов наблюдений при неограниченном увеличении объема выборки теряет свойство случайности и сходится по вероятности к некоторой неслучайной величине . В самом общем смысле статистическое оценивание параметров распределения можно рассматривать как совокупность методов, позволяющих делать научно обоснованные выводы о числовых параметрах генеральной совокупности по случайной выборке из нее

2.2

Генеральная совокупность (в англ. — population) — совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы. Генеральная совокупность состоит из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Иногда генеральная совокупность - это все население определённого региона (например, когда изучается отношение потенциальных избирателей к кандидату), чаще всего задаётся несколько критериев, определяющих объект исследования.

Выборочная совокупность - часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности. Для того, чтобы заключение, полученное путем изучения выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность выборка должна обладать свойством репрезентативности.

Свойства точечных оценок

• Оценка называется несмещённой, если

где обозначает математическое ожидание.

• Оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных точечных оценок.

• Оценка называется состоятельной, если ,

по вероятности при .

• Оценка называется сильно состоятельной, если ,

почти наверное при .

2.3

2.4

Распределение хи-квадрат

Распределение хи-квадрат определяется следующим образом:

f(x) = {1/[2^n/2* G(n/2)]} * [x^(n/2)-1 * e^-x/2],

n = 1, 2, ...,

x > 0,

где

n - число степеней свободы
e - число Эйлера (2.71...)
G (гамма) - гамма-функция

2.5

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины t, где

называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. Пишут t˜t(n). Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,где Γ — гамма-функция Эйлера.

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что . Обозначим выборочное среднее этой выборки, а S² её выборочную дисперсию. Тогда

.

2.6

  Пусть случайные величины _n² и _m² независимы и имеют распределение ² с n и m степенями свободы соответственно. Тогда случайная величина имеет F-распределение с плотностью вероятности

, x>0, - гамма-функция Эйлера; , m>2; , m > 4.

2.8

Пусть из генеральной совокупности X, распределенной по нормальному закону N(;), взята случайная выборка объемом n и вычислена выборочная дисперсия . Требуется определить с надежностью  интервальные оценки для генеральной дисперсии ² и среднего квадратического отклонения .

Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии основывается на том, что случайная величина имеет распределение Пирсона (²) с  = n степенями свободы, а величина имеет распределение Пирсона с  = n-1 степенями свободы.

Подробно рассмотрим построение доверительного интервала для второго случая, так как он наиболее часто встречается на практике. Для выбранной доверительной вероятности  = 1-, учитывая, что имеет распределение ² с  = n-1 степенями свободы, можно записать

Далее по таблице ² - распределения нужно выбрать такие два значения , чтобы площадь, заключенная под дифференциальной функцией распределения ² между , была равна  = 1-.

Обычно выбирают так, чтобы

(2.22)

т.е. площади, заштрихованные на рис. 2.1 были равны между собой.



Тогда имеем

(2.23)

Так как таблица ² - распределения содержит лишь , то для вычисления запишем следующее тождество:

. (2.24)

Подставив (2.24) в (2.23), получим

и окончательно

(2.25)

Формула (2.25) используется при решении обратной задачи - нахождении доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии.

Причем

(2.26)

Преобразуем двойное неравенство в (2.23):

(2.27)

окончательно получим

(2.28)

Это и есть доверительный интервал для генеральной дисперсии, когда неизвестно значение генеральной средней и по выборке объемом n вычисляется выборочная дисперсия S².

2.9

Доверительная область представляет собой множество пар значений (p, p*), попа-

дающих внутрь эллипса, уравнение которого имеет вид: