Логические задачи

Задача 55. Три девочки — Белова, Краснова и Чернова -одеты в белое, красное и черное платья, причем ни у одной из них цвет платья не соответствует ее фамилии. Девочка в белом платье и Чернова родились в один день. Кто в какое платье одет?

Решение. Из второго предложения можно заключить, что девочка в белом платье я Чернова - это разные де­вочки, А этот факт можно осознать двумя способами. Во-первых, Чернова не в белом платье, во-вторых, девочка в белом платье не Чернова. Понятно, что это одно и то же утверждение, но для выводов удобно иметь его в двух видах.

Теперь ясно, что Чернова в красном платье, поскольку она, по условию, не в черном и мы уже знаем, что она не в белом. Далее получаем, что девочка в белом платье — Краснова, так как эта девочка не Чернова и не Белова. А Беловой теперь ничего не остается, кроме как быть в черном платье.

Получаемые по ходу рассуждения выводы удобно фик­сировать на схеме. В итоге она будет выглядеть так:

Задача 56. Витя, Петя, Юра и Сережа заняли на олимпи­аде первые четыре места. На вопрос, какие именно места они заняли, были даны три ответа:

а) Петя — второе, Витя — третье;

б) Сережа — второе, Петя — первое;

в) Юра — второе, Витя — четвертое.

Оказалось, что в каждом ответе одна часть верна, а другая — нет. Кто какое место в действительности занял?

Решение. Будем искать, какие из указанных шести пред­ложений противоречат друг другу. Поиск закончится, едва начавшись: предложение «Петя занял второе место» про­тиворечит и первой, и второй части высказывания б). Сле­довательно, оно неверно (иначе были бы неверны сразу обе части высказывания б).

Значит, в высказывании а) верна вторая часть: Витя занял III место. Тогда из в) получаем, что Юра занял II место, и из б) — что Петя занял I место. Понятно, что Сережа на IV месте.

• Решите задачи:

Однажды композитор, художник и писатель с фами­лиями Музыкантский, Живописцев и Рассказов встрети­лись в театре, и композитор заметил, что ни у кого из них фамилия не соответствует профессии. «Действительно», — подтвердил Живописцев. Определите фамилию каждого деятеля искусств?

Рассмотрим задачи, которые можно считать логическими, но решение любой из них опирается на «здравый смысл».

Задача 57.Двое подошли к реке. У пустынного берега стояла лодка, в которой мог поместиться только один человек. Оба они переправились через реку на этой лодке и продолжи­ли свой путь. Как они это сделали?

Схема рассуждений

Задачу мешает решить шаблонное понимание первой фра­зы: «Двое подошли к реке», которая наталкивает на мысль, что путники шли вместе и в одном направлении.

Изменим немного условие задачи 1.

Задача 58. На берегу реки находится лодочник и одно­местная лодка. Двум путникам надо переправиться на другой берег. Как им переправиться на другой берег и вернуть лодку лодочнику?

Схема рассуждений

Говоря о синтетической деятельности, т. е. о тех выводах, которые можно сделать при ознакомлении с текстом задачи, отметим, что таких выводов совсем немного:

оба путника подошли к одному берегу реки, где были и лодка и лодочник;

оба путника подошли к одному берегу реки, где не было ни лодки, ни лодочника;

путники подошли к разным берегам реки по одному.

Каждую из полученных ситуаций следует изучить отдель­но. Например, если путники подошли к одному берегу, где не было ни лодки, ни лодочника, то задача не имеет решений.

Если на одном берегу находятся трое мужчин и одномест­ная лодка, вывод, к которому следует придти, таков: кто бы ни сел в лодку, чтобы переправиться на противоположный берег, вернуть ее он не сможет. Такое заключение есть пример четко­сти, ясности, краткости словесного выражения мысли.

Каковы могут быть рассуждения по существу третьей си­туации, когда путники подошли к разным берегам реки, т. е. на одном берегу два человека и лодка, на другом берегу один человек? Как будут поступать в этой ситуации мужчины?

Очевидный и важный вывод — лодка может отправиться с того берега, где она находится, на лодке может поплыть либо лодочник, либо путник. Первым надо плыть путнику, а другой вернет лодку лодочнику.

Эта задача подводит ученика:

• к рассмотрению различных случаев;

• к умению рассуждать, правильно делать выводы;

• к выдвижению идей рассуждений, установлению их истин­ности и ложности.

Задача 59. Крестьянину нужно перевезти через реку вол­ка, козу и капусту. Как осуществить перевоз, чтобы волк не съел козу, а коза не съела капусту?

Схема рассуждений и ход решения

Рассудительный ученик должен потребовать такое уточне­ние текста задачи: при крестьянине никто никого не ест! Без этого уточнения решать задачу невозможно.

Ознакомившись с текстом задачи, учащиеся могут сделать следующие выводы.

Крестьянин может сначала перевезти козу, оставив волка и капусту на одном берегу (волк не ест капусту!).

Крестьянин после этого может перевезти либо волка, либо капусту, но он должен с противоположного берега козу увезти назад, чтобы волк не съел ее, или она капусту. В этой комбина­ции перевоза козы назад и заключается необычность идеи, по­могающей решить задачу.

После этого крестьянин перевозит соответственно капу­сту или волка.

Наконец крестьянин снова перевозит козу.

При решении данной задачи учащемуся прежде всего необ­ходим «жизненный опыт», так как решение задачи не предпо­лагает каких-либо сложных математических выкладок. Глав­ное в этой задаче — «увидеть», что коза ест капусту, волк не ест капусту, но может съесть козу, значит, не следует оставлять на одном берегу волка с козой и козу с капустой. По-видимому, в данной задаче проявляется навык проведения логических рас­суждений и характерных для дедуктивного мышления умений находить логические следствия из данных начальных условий. Конечно, при решении этой задачи и при решении любой дру­гой, необходимы навык полноценной логической аргументации, стремление к ясности, простоте, экономности и рационально­сти решений.

При формировании аналитико-синтетической деятельности у учащихся представляют интерес так называемые задачи-головоломки или, как называет их английский профессор Смаллиан, «дурацкие штучки».

Приведем пример такой задачи.

Задача 60. Имеются две монеты на сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Схема рассуждений и ход решения

Практика показывает, что эта задача ставит в тупик челове­ка достаточно часто, поскольку увидеть ответ не так уж легко. Это совершенно не страшно, надо просто подробно исследо­вать ситуацию. Как это делать?

На вопрос, какими могут быть две монеты, составляющие сумму 15 копеек, ответ для системы монет нашей страны однозначный: 10 копеек и 5 копеек.

Необычность формулировки задачи состоит в том, что указано: из этих двух монет одна не пятак, т. е. десятикопееч­ная, зато другая — пятак. При решении данной задачи должно проявиться такое качество мышления, как умение абстраги­ровать.

Нестандартность мышления проявляется и при решении таких задач, в которых встречаются слова одного рода, а под­разумевается противоположный пол. Например, такая задача.

Задача 61. Сын отца полковника беседовал с отцом сына полковника. Кто с кем беседовал, если полковника при этом не было?

Схема рассуждений Стандартное понимание слова «полковник» приводит к сте­реотипному выводу, что полковник — мужчина, но в задаче «полковник» — женщина, т. е. брат полковника беседовал с му­жем полковника.

Задача 62. Встречаются два приятеля - математика:

-Ну как дела, как живешь? - Все хорошо, растут два сына дошкольника. - Сколько им лет? - Произведение их возрастов равно количеству голубей возле этой скамейки. - Этой информации мне недостаточно. - Старший похож на мать. - Теперь я знаю ответ на твой вопрос.

Сколько лет сыновьям? (Ответ логичный и однозначный)

Для начала определимся с первым постулатом - дошкольники - для нас это первые цифры в задаче.

Следуя здравой логике, это дети в возрасте от одного года до шести лет. Можно взять и до семи, но на решении задачи это не как не скажется.

Следующий постулат - оба приятеля знают точно, сколько голубей возле скамейки. Это важно понимать, это один из ключей к решению задачи, и мы к нему вернёмся позже, а пока мы знаем, что произведение возрастов детей соответствует количеству голубей. Давайте переберём все возможные варианты:

1x1=1 1x2=2 1x3=3 1x4=4 1x5=5 1x6=6

2x2=4 2x3=6 2x4=8 2x5=10 2x6=12

3x3=9 3x4=12 3x5=15 3x6=18

4x4=16 4x5=20 4x6=24

5x5=25 5x6=30

6x6=36

Если бы голубь был один, то это означало бы, что дети двойняшки и им по одному году. Но поскольку, последовала дальнейшая беседа, то это вариант мы отклоняем сразу.

Далее приятель говорит, что этой информации ему не достаточно, и тогда второй приятель уточняет, что дети разного(!) возраста. И только после того, как приятель узнал для себя эту важную деталь, ему стало всё ясно.

Из этого вопроса и ответа следует очень тонкое умозаключение, а именно то, что число голубей было квадратом одного из чисел от 2 до 6, а именно 4, 9, 16, 25, 36. Почему? А потому, что только у квадратов чисел можно получить их произведение, когда оба множителя равны друг другу или не равны. Ещё раз перечитайте эту фразу, она логична и однозначна, а я продолжаю пояснять. Поэтому приятель и не знал, дети двойняшки или нет, и когда мы узнаём, что ответ на этот вопрос дал приятелю окончательный ответ к задаче - то это дало нам доказательство того, что это был квадрат числа. Квадрат какого числа? - сейчас выясним...

Возьмём из всех возможных результатов те, где ответ квадрат чисел

1x4=4 2x2=4 3x3=9 4x4=16 5x5=25 6x6=36

Из этого исключим те, где возраст детей одинаковый. Остаётся единственный и однозначный ответ -

1x4=4

Детям соответственно один и четыре года.

Выше отмечалось, что приведенные задачи требуют для своего решения определенного «здравого смысла», но следует указать и на такие задачи, которые содержат в условиях очень много данных. Удерживать в памяти все факты, приведенные в условиях задачи, трудно, поэтому следует использовать вспо­могательные записи или таблицы. Эти записи помогают исклю­чить из рассмотрения нерешаемые варианты (противоречащие условию). В соответствующие клетки заносят цифры, показы­вающие, на основании какого условия исключена та или иная возможность. Предположим, что в задаче речь идет о двух множествах и некоторых парах, в каждой из которых один элемент взят из одного множества, а другой — из другого. Если составить таблицу, поместив у одного входа элементы одного множества, а у другого входа — элементы второго множества, то поле таблицы представит декартово произведение этих множеств. Иногда приходится составлять таблицы с большим числом входов или рассматривать несколько таблиц. Ниже при­ведены задачи, решение которых требует использования вспо­могательных таблиц.

Задача 63. Олег, Игорь и Оля учатся в одном классе. Среди них есть лучший математик, лучший спринтер и лучший ху­дожник класса. Известно, что:

лучший художник не нарисовал своего портрета, но на­ рисовал портрет Игоря;

Оля никогда не уступала мальчикам в спринте.

Кто в классе лучший математик, лучший спринтер и луч­ший художник?

В задаче речь идет о двух множествах (множество школь­ников и множество специальностей). Воспользуемся таблицей 3x3 клетки.

Таблица

	Математик	Спринтер	Художник
Олег	-	-	+
Игорь	+	-	-
Оля	-	+	-

Из первого условия задачи следует, что Игорь не худож­ник, ставим в таблице «-», во второй строке и в третьем стол­бце. Из второго условия следует, что Оля лучший спринтер и поэтому ставим знак «+» в третьей строке и во втором столбце, значит Оля не художник. Игорь не художник, художник — Олег, а лучшим математиком может быть только Игорь. Наглядно показано, что таблица значительно облегчила решение задачи.

Иногда приходится составлять таблицы с большим числом входов или рассматривать несколько таблиц. В этом случае можно использовать графы. Иногда граф может играть вспо­могательную роль в сочетании с другими методами решения.

Графом называют схему (сетку, карту), составленную из нескольких точек, называемых вершинами графа, и нескольких отрезков (или дуг), соединяющих эти точки и называемых реб­рами графа.

Применяя граф к решению логических задач, вершинам и ребрам графа обычно придают определенный смысл. Часто решение задачи получается наглядным и эффективным. При­мером решения с использованием графов может служить сле­дующая задача.

Задача 64.Студенты педагогического университета орга­низовали эстрадный квартет. Михаил играет на саксофоне. Пианист учится на физическом факультете. Ударника зовут не Валерием, а студента географического факультета зовут не Леонидом. Михаил учится не на историческом факультете. Андрей не пианист и не биолог. Валерий учится не на физиче­ском факультете, а ударник — не на историческом. Леонид иг­рает не на контрабасе. На каком инструменте играет Валерий и на каком факультете он учится?

Схема рассуждений и ход решения

В этой задаче имеется три множества (студенты, инстру­менты, факультеты) по четыре элемента в каждом. Составле­ние таблиц громоздко (придется чертить три таблицы) и неэф­фективно. Воспользуемся графами. Обозначим студентов пер­выми буквами их имен: М, А, Л, В; инструменты, на которых они играют: С, П, У, К; факультеты, на которых они учатся: Ф, Г, И, Б. Будем соединять элементы двух множеств сплошной линией, если между ними установлено взаимно однозначное соответствие, и пунктирной линией, если такое отсутствует (рис. 1).

М В Л А

И С

Ф У

Б П

Г К

Рис. 1

Пианист учится на физическом факультете, им может быть Леонид, потому что Андрей не пианист, Михаил играет на сак­софоне, а Валерий не учится на физическом факультете. Тогда Андрей — ударник, так как Валерий — не ударник, и Андрей учится на географическом факультете, потому что ударник учится не на историческом и Андрей — не биолог. Михаил —биолог, а Валерий играет на контрабасе и учится на историче­ском факультете.