- •Элементы новизны содержания учебного материала
- •Воспитание познавательной активности (поиск математических закономерностей)
- •Выявление межпредметных связей
- •Математика и физика.
- •Математика и химия
- •Математика и экономика
- •Создание проблемной ситуации
- •Раскрытие красоты математических закономерностей
- •Использование алгоритмов
- •Задачи на нахождение.
- •Задачи на доказательство.
- •Задачи, несущие новую информацию и их типы.
- •Задачи с жизненным содержанием.
- •Логические задачи
Оглавление
Элементы новизны содержания учебного материала 1
Воспитание познавательной активности (поиск математических закономерностей) 3
Выявление межпредметных связей 3
3
Математика и физика. 4
Математика и химия 6
Математика и экономика 7
Создание проблемной ситуации 8
Раскрытие красоты математических закономерностей 10
Использование алгоритмов 13
Задачи на нахождение. 14
Задачи на доказательство. 15
Задачи, несущие новую информацию и их типы. 19
Задачи с жизненным содержанием. 20
Логические задачи 23
Элементы новизны содержания учебного материала
Пример 1. На уроке алгебры при изучении темы «Умножение разности двух выражений на их сумму» можно вначале провести устный счет под девизом «Кто быстрее?» (найти произведение двух чисел типа 21 • 19, 31 • 29, 42 • 38, 45 • 35, 201 • 199). После окончания устного счета отметить, что умножить числа можно намного быстрее и проще, если изучить очень важный и интересный раздел «Формулы сокращенного умножения», который начинается темой «Умножение разности двух выражений на их сумму».
Пример 2. В VIII классе при изучении теоремы Виета можно дать учащимся целый ряд квадратных уравнений типа х2—5x+6=0, х2 + х—6=0, х2—6х+5=0, х1—7х+10=0 и быстро определить корни этих уравнений, не решая их. Учащиеся заинтересованы, каким образом учитель смог так быстро найти корни каждого уравнения. Затем сообщить, что решают эти уравнения, используя интересную теорему, называемую теоремой Виета. О ней даже написаны стихи для лучшего запоминания. И после доказательства теоремы Виета зачитать учащимся стихотворение:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого;
Умножишь ты корни — и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда —
В числителе b, в знаменателе а.
Пример 3. При итоговом повторении учебного материала в X классе можно предложить учащимся решить уравнение х3—7х—6=0 и убедиться в том, что сумма всех корней этого уравнения равна нулю. Нельзя ли было дать такой ответ, не находя самих корней? Верна ли теорема Виета для уравнений любой степени или только для квадратного уравнения? Учащиеся не могут сразу ответить определенно. Часто мнения разделяются: значительная часть учащихся считает, что теорема Виета верна только для квадратного уравнения. После выяснения, что теорема Виета устанавливает зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами, учащиеся приходят к выводу, что и для кубического уравнения существует взаимосвязь между его корнями и коэффициентами. Затем можно предложить записать вывод:
если x1, х2,х3 корни кубического уравнения x3+bx2+cx+d=0,
то x1+х2+х3 = - b, x1х2+ x1 х3 + х2х3 = c и x1х2х3 = -d.
Учитель должен подчеркнуть, что это необязательный для всех учебный материал, но если кто хочет, может попытаться доказать самостоятельно эти равенства.
В данном случае известный материал рассматривается с новых более общих позиций.
При повторении или закреплении учебного материала новизна его может достигаться за счет использования обратных теорем, рассмотрения известных формул как «слева направо», так и «справа налево».
Воспитание познавательной активности (поиск математических закономерностей)
Пример 4. На уроке геометрии перед доказательством теоремы Пифагора можно предложить учащимся построить прямоугольный треугольник с катетами а=3, b=4. Затем измерить гипотенузу с точностью до целых чисел и проверить, будет ли выполняться равенство: а2+b2=с2. Учащиеся под руководством учителя сами формулируют теорему Пифагора и доказывают ее. Для закрепления учебного материала можно предложить решить задачу: существуют ли три последовательных целых числа, которые удовлетворяют теореме Пифагора?
Учащиеся, имеющие хорошую подготовку по математике, легко справляются с решением данной задачи. Они обозначают стороны прямоугольного треугольника n—1, n, n-2 и легко определяют катеты и гипотенузу. После применения теоремы Пифагора и преобразования выражения (n—1)2+n2= (n+1)2 школьники получают n=4. Значит, числа 3, 4 и 5 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
Учитель на уроке может рассказать, что в связи с этой теоремой Пифагор создал правило для нахождения целых чисел, представляющих длины сторон прямоугольных треугольников по формулам: a=2n+1; b=2n2 +2n; c=2n2+2n+l, где а и b катеты, с — гипотенуза.
Пример 5. Допустим, надо умножить 96 на 92.
Дополнения до ста — соответственно 4 и 8. Отнимем от первого сомножителя дополнение второго (96—8 = 88) или от второго сомножителя дополнение первого (92—4 = 88). И в том, и в другом случае получаем 88. Это первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4*8 = 32). 32 — это последние цифры произведения, Итак, 96*92 = 8832. На схеме это выглядит так:
9 6 4
92 8
88 32
Если же учитель постарается делать то же и впредь, то он воспитает таких приверженцев устного счета, которые в X классе будут ради собственного удовольствия легко брать в уме определенные интегралы.