Операции над матрицами: транспонирование. Свойства транспонирования.

Переход от А к А^т называют операцией транспонированием матрицы.

Свойства транспонирования для любых А, В и любых λ:

• (А+В)^т = А^т + В^т

• (λ*А)^т = λ*А^т

• (А*В)^т = В^т * А^т

• (А^т)^т = А

5. Перестановки.

Упорядоченная совокупность чисел α₁, α₂, α_n у которой:

• α_y Є (1, 2 … n) i = 1 : n

• α_i ≠ α_j, если i ≠ j

Перестановка 1, 2, 3 … n называется натуральной.

Для преобразования перестановки α_i и α_j, i ≠ j меняется местами называется транспозицией.

Перестановка называется чётной, если общее число инверсий чётное, и нечётное в противном случае.

Теорема 1. Количество всевозможных перестановок из N чисел = n!

n! ≤ 1*2*3*…*т

Доказательство: переберём все перестановки из N чисел α₁, α₂, α_n;

n*(n-1)*(n-2) 1=n!

В качестве α₁ можно взять любое из этих N чисел, это даёт n возможностей.

В качестве α₂ можно взять любое из этих N-1 чисел, это даёт n-1 возможностей т.д.

В качестве α_n можно взять любое из этих чисел, это даёт 1 число.

Теорема 2. Каждая транспозиция меняет чётность перестановки. Доказательство: 1. Пусть в перестановке α₁, α₂, α_n, меняются местами двумя соседними элементами α_i и α_j; α₁ и α_{i+1, …} → α_i+1 , α₁ …

… многоточие заменителей числа, которые не затрагиваются при перестановке. В обеих перестановках числа оставшиеся на местах, составляют одни и те же инверсии друг с другом и с числами α₁ и α_i+1 , если α₁ и α_i+1 раньше составляли инверсию, то в новой перестановке её не будет и наоборот.

2. Пусть теперь между переставляемыми α_i и α_j, расположено k чисел.

… α_i и α_i+1, α_i+k; α_j → α_j , α_i+k ,α_i+1 , α_i … новую перестановку можно получить из старой последовательно меняя местами соседние числа: α_i поменять местами приходиться k+1 раз, а затем α_j поменять местами k раз с числами i+k и т.д. до α_i+1 при этом чётность перестановки измениться (k+1)+k раз.

Теорема 3. Все n! Перестановок могут быть упорядочены так, чтобы каждая последующая отличалась от предыдущей на 1 транспозицию при чём начинать это упорядочение можно начинать с любой перестановки.

Следствие 1. При n ≥ 2, число чётных перестановок = числу нечётных.

Следствие 2. От каждой перестановки из N чисел, можно перейти к любой другой перестановке с помощью конечного числа транспозицией.

6. Определение определителя n-го порядка. Правила вычисления определителей второго и третьего порядков.

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называется сумма всевозможных произведений a₁ * α₁ … а_n * α_n. Элементом матрицы взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, при чём если сомножители в этом произведении упорядочены в возрастании номеров строк, то оно берётся со знаком (-1) ^{inv α1, … αn} .

|A|, det A – детерминант

det A ↔ ∑ (-1) ^{inv α1, … αn} * a_α1, … a_αn .

Правила вычисления определителей второго и третьего порядка.

• Правило «Звезды» (треугольника)

• Правило Саррюса

7. Свойства определителя.

1.. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонирование.

|A| = |A^т|. Доказательство: А = (а_ij) состоит из членов i a_1α1 * a_nαn . Все множители этого произведения матрицы A^т находятся в разных строках и разных столбцах. Следовательно, |A| и |A^т| состоят из одних и тех же членов. Следствие: в определение определителя можно поменять ролями строки и столбцы. Док-во: |A^т| = ∑ (-1) ^{inv α1, … αn} * a_1α1 * a_nαn. Замечание: из свойства 1следует, что строки и столбцы матрицы равноправны с точки зрения свойств определителя, это означает что свойства определителя, имеющие место для строк, справедливо и для столбцов.

Свойство 2: если одна из строк (столбцов) матрицы состоит из нулей, то её определитель равен нулю.

Док-во: это следует из того, что каждый член определителя входит множителем элемент нулевой строки.

Свойство 3: при умножении строки (столбца) матрицы на число, её определитель умножается на это число.

Док-во: следует из определения определителя, что каждое слагаемое суммы (*) – это число входит множителем ровно 1 раз.

4.. если каждый элемент некоторой строки матрицы представить в виде суммы двух слагаемых (a_in = b_ik + c_ik, k = 1 : n), то определитель матрицы может быть представлен в виде суммы двух определителей.

Док-во: следует из определения определителя, если учесть, что a121 * … * ai2i * … * a_n2n = a₁₂₁ * … (b_i2i + c_i2i) … a_nα_n = a₁₂₁ … b_i2i … a_n2n + a₁₂₁ … c_iαi … a_n2n .

Замечание: свойство 3 и 4 часто объединяют и показывают свойствам линейности относительно строк и столбцов.

5.. при перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы и определитель меняет знак на противоположный.

Док-во: A = (a_ij) _m*n i-й; j-й столбцы В

A = (a₁…a_i…a_j…a_n), B = (a₁…a_i…a_j…a_n). Определители А и В состоят из одних тех же членов. Сравним их знаки

a_α11 … a_αii … a_αjj … a_αnn ] в det A

α₁, … , α_i, … , α_j, … , α_n

α₁, … , α_i, … , α_j, … , α_n в det B

Они отличаются одной транспозицией т.е. имеют разную частность, следовательно все члены определителя А восходят в определитель В с противоположными знакам |A| = - |B|.

6.. Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбцы) равен 0. Из свойства 5 следует, если поменяем местами одинаковые строки, то |A| = - |A| → |A| = 0 x = -x → x = 0

7.. если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других её строк (столбцов), то определитель матрицы равен 0.

8.. если в какой-либо строке (столбце) матрицы прибавить линейную комбинацию других её строк, то её определитель не измениться.

8. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Определение: пусть A = (a_ij) _m*n , k Є N, 1 ≤ k ≤ min (m,n) в матрице А произведение k строк и k столбцов с номерами i₁ < iα < i_k; j₁ < j₂ < j_k. Элементы матрицы А находятся на пересечение выбранных строк и столбцов образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k – го порядка матрицы А, расположенным в строках с номерами i₁ ,i₂, i_k и столбцах j₁, j₂, j_k.

Пусть A = (a_ij) _m*n и , k < n, если в А вычеркнуть строки и столбцы в которых расположен заданный минор, то оставшиеся элементы матрицы образуют квадратную матрицу порядка (n-k). Определитель этой матрицы называется дополнительным минором k и обозначают

. Исходный минор является дополнительным к своему дополнительному минору. Доп. минор к минору взятый со знаком (-1) называется алгебраическим доп. к минору М и обозначает . ↔ (-1) ^{i1+i2+… ik+j1+j2+… jk} *

.

Теорема.

Частный случай алгебраического дополнения.

Теорема Лапласа:

Пусть A = (a_ij) _n*n , k Є N, 1 ≤ k ≤ n-1, тогда определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений минора k-го порядка, расположенного в выбранных строках (столбцах) на их алгебраические доп., тогда определитель |A| равен |A| = ∑ * , где суммирование ведётся по всевозможным наборам j₁, j₂, j_k , где 1≤ j₁ < j₂ < … < j_k ≤ n

Следствие: (индуктивное определение определителя) разложения определителя по строке (столбцу), определитель матрицы равен сумме всех произведений элементов произвольной её строки (столбца) на свои алгебраические доп. Разложения определителя по строке: ;

Если в теореме Лапласа выбрать k=1 и столбец и строку с номером i, то минорам 1-го порядка расположенного в i строчке и j столбце будут сами элементы i, j. Обозначив через i, j алгебраически дополнения получим из теоремы Лапласа.

;

9. Приведение матрицы к ступенчатой форме.

Матрица A = (a_ij) _n*n , называется верхней (правой) треугольной, если a_ij = 0,

i > j и левой треугольной a_ij = 0, i < j.

Матрица A = (a_ij) _m*n называется верхней правоступенчатой, если она обладает следующими свойствами:

• Если i строка 0, то i+1 так же 0-ая

• Если ненулевые элементы i, i+1 строк расположены в столбцах k_i, k_i+1, k_i < k_i+1. Эти свойства означают, что все нулевые строки являются последними и что все элементы расположенные слева и под первым нулевым элементом каждой строки равен 0. если в определении верхней ступенчатой матрицы поменять ролями строки и столбцы, то получим определение каждой левоступенчатой матрицы. Ступенчатая матрица, у которой k_i = i называется трапециевидной.

Приведение матрицы к матрице ступенчатого вида. Элементарными преобразованиями следующего вида:

• Перестановка двух строк, столбцов матрицы

• Умножение строки (столбца) на число, отличное от 0

• Прибавление к одной строке (столбцу) другой её строки (столбца) умножения на любое число.

10. Практическое вычисление определителя. Вычисление определителя методом Гаусса.

Теорема. Определить произведение квадратных матриц равен произведению определителей матриц сомножителей. .

Вычисление определителя методом Гаусса. Метод Гаусса вычисения определения состоит: 1)в приведении матрицы с помощью ЭП к треугольной матрице; 2)вычисление определителя получившейся треугольной матрицы; 3)восстановление исходного определителя, если используется ЭП1 и ЭП2. Замечание. Для вычисления определителя методом Гаусса требуется выполнить , операций умножения двух чисел, . Для n=100 определитель может быть вычислен быстрее чем за 1 сек на компьютере с быстродействием 10⁶ арифметич. операций в сек. Если вычислять определитель на основании определения, то нужно выполнить n!n операций умножения(без учета сложения) и для n=100 число умножений превосходит 10¹⁵³ не справится современный мощный компьютер.

11. Обратная матрица. Теорема о фальшивом разложении определителя. Критерий обратимости матрицы.

Определение. Матрица В называется обратной к матрице А, если А*В=В*А=Е, то

В=А^-1(обратная матрица).

Матрица А для которой существует обратная матрица, называется обратимой.

Из определения следует, что обратимой может быть только квадратная матрица, но не каждая квадратная матрица обратима.

Пример. .

Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, а если определитель отличен от нуля, то - невырожденной.

Пусть А=(а_ij)_n*n , составленная из алгебраических дополнений А_ij к элементам а_ij, называется присоединенной.

Теорема о фальшивом разложении определителя. Сумма произведений элементов строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения к элементам другой ее строки (столбца) равна нулю.

Теорема. Критерии обратимости. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная (определитель отличен от нуля).

1)необходимость => А-обратима, тогда существует обратная матрица

2) достаточность. А-невырожденная

является обратной по отношению к А.

Без потери общности полагаем n=3.

12. Теорема о единственности обратной матрицы. Свойства обратной матрицы.

Теорема. Если А квадратная матрица и А*В=Е или В*А=Е, то В=А^-1

Доказательство.

Пусть нам известно А*В=Е => В-квадратная матрица.

Свойства обратной матрицы.

1. Е^-1=Е (Е*Е=Е)

2. |А^-1|=

3. (А^-1)^-1=А

4. (А^Т)^-1=(А^-1)^Т

5. (А*В)^-1=В^-1*А^-1

Замечание.

Формула дает явный вид обратной матрицы. Она полезна в теоретических исследованиях, но не эффективна для практического вычисления. Нужно вычислить n² определителей (n-1) порядка и один определитель n-ого порядка, поэтому в вычислительной математике используются другие приемы.

13. Вычисление обратной матрицы. Метод Гаусса-Жордана.

Теорема. Произвольная невырожденная матрица ЭП только строк (столбцов) приводится к единичной матрице.

Доказательство.(рассмотрим для строк)

А=(а_ij)_n*n ,

Применим к матрице А основной процесс. Т.к. А квадратная, то окончательна ступенчатая матрица будет треугольной. Ввиду невырожденности исходной матрицы, она также будет невырожденной, а ее диагональные элемены отличны от нуля.

Разделим каждую строку на ее диагональный элемент, т.е выполним ЭП строк и получим треугольную матрицу вида:

Если представить процесс приведения матрицы к верхней ступенчатой форме как преобразование матрицы слева направо, то теперь будем выполнять аналогичные преобразования справа налево. На первом шаге с помощью последней строки анулируем все наддиагональные элементы последнего столбца, вычитая из первых (n-1) строк последнюю строку, умноженную на а_1n , a_2n , и т.д. до а_n-1,n.

На втором шаге из первых n-2 строк вычитаем n-1 строку и умножаем на а_1,n-1 , a_2,n-1 … a_n-2,n-1

Выполнив все аналогичные преобразования n-1 шагов, получим единичную матрицу.

Алгоритм метода Гаусса-Жордана.

Составить расширенную матрицу и над строками выполнить те ЭП, с помощью которых приводя А к Е, на месте Е окажется А^-1.

14. Линейная зависимость и линейная независимость строк матрицы.

Дана матрица размером m * n . Обозначим строки матрицы а₁ = (а₁₁, а₁₂, … а_1n); а₂ = (а₂₁, а₂₂, … а_2n); а₃ = (а₃₁, а₃₂, … а_mn). Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы. Введём операцию умножение строки на число и сложение строк.

• λ * a_k = (λ*a_k1, λ*a_k2, … , λ*a_kn)

• a_k+a_l = ( a_k1+a_l1; a_k2+a_l2; … ; a_kn+a_ln).

Определение: строка а называется линейной комбинацией строк a₁, a₂, … , a_k, если она представима в виде: а = λ₁a₁+ λ₂a₂ + … + λ_ka_k, где λ₁, λ₂, λ_k – произвольные фиксированные действительные числа.

Определение: строки матрицы a₁, a₂, a_k называется линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁, λ₂, λ_k не равные одновременно нулю, что линейная комбинация λ₁a₁+ λ₂a₂ + … + λ_ka_k = Θ, где Θ – нулевая строка. Строки a₁, a₂, …, a_k – называется линейно независимыми, если λ₁a₁+ λ₂a₂ + … + λ_ka_k = Θ, тогда и только тогда когда λ₁ = λ₂ = λ_k = 0. Система строк является линейно зависимой тогда и только тогда, когда одна из строк является линейной комбинацией других строк этой системы.

Доказательство:

Необходимость → a₁, a₂, a_k - лин. зависимость → Ǝ λ₁, λ₂, λ_k (одновременно неравны 0)

(λ₁a₁+ λ₂a₂ + … + λ_ka_k) λ_i ≠ 0

a_i = (- λ₁ ÷ λ_i) * a₁ + ((-λ_i – 1) ÷ λ_i) * a_i + 1 + ((-λ_i + 1) ÷ λ_i) * a_i + (- λ_k ÷ λ_i) * a_k;

a_i = μ₁ a_i + μ_i-1 a_i-1 + μ_i+1 a_i+1 + μ_k a_k

• Достаточность → a_i = λ₁a_i+ … +λ_i-1a_i-1 + … + λ_i+1a_i+1 + λ_ka_k

λ₁a_i+ … +λ_i-1a_i-1 + (-1) a_i + λ_i+1a_i+1 + λ_ka_k = Θ

15. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Определение: рангом нулевой матрицы называется наивысший порядок, отличных от нуля миноров матрицы. rang (A), v (A), r

• Ранг нулевой матрицы не превосходит её размеры rang (A) ≤ min (m, n)

• Равенство r (A) = r, r > 0 равносильно выполнению двух условий:

• В А существует нулевой минор r – го порядка

• Все миноры, начиная с r+1 – го порядка – нулевые

Если r (A) = r, r ≠ 0 то любой минор r – го порядка называется базисным минором, а строки и столбцы, содержат элементы базисного минора, называется базисными строками и базисными столбцами. Пусть М – минор r – го порядка, окаймляющий минора М называют минор (r+1) – го порядка, включающий М.

Теорема о базисном миноре:

• Базисные столбцы (строки) линейно независимы

• Любой столбец (строка) матрицы является линейной комбинацией её базисных столбцов (строк)

Доказательство: рассмотрим вариант по столбцу

Пусть A = (a_ij) _m*n ; r (A) = r, r > 0. Считаем, что базисный минор М располагается в левом верхнем углу и a₁, a₂, a_k - базисные столбцы. Метод от противного: предположим, что a₁, a₂, a_n - лин. зависимы, тогда в силу предложим из парал.7 один из базисных столбцов является лин. колебаниями других базисных столбцов. Следовательно, в М_r – один из столбцов является лин. комбинацией других столбцов. М_r = 0, по r > 0.

16. Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Выделяют 2 метода: метод окаймляющих миноров и метод ЭП. Метод окаймляющих миноров. Теорема: если в матрице А есть минор r – го порядка, отличный от нуля, а все окаймляющих его миноры равны нулю, то ранг матрицы А равен r. Алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров:

• Находим в матрице (А) минор М порядка r, отличный от нуля.

• Рассматривают все миноры (r+1) – го порядка, окаймляющих М:

• Если все они равны 0, то ранг матрицы = r

• Если среди окаймляющих миноров найдётся нулевой, то процедура повторяется.

17. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью применения конечного числа ЭП. А ~ В. Теорема: эквивалентные матрицы имеют равные ранги. Для доказательства достаточно заметить, что ЭП сохраняют её ненулевые миноры. (Они могут лишь изменить знак).

A = (a_ij) Матрица с помощью ЭП, приведённая к матрице ЭП ступенчатого вида. Ранг матрицы А совпадает с В, а ранг В равен количеству её строк. Следовательно, ранг А равен количеству ненулевых строк В.

Алгоритм:

• С помощью ЭП матрицу А приводит к ступен. виду.

• В полученной матрице В вычислить количество ненулевых строк

18. Многочленные матрицы.

λ – матрицы А (λ), элементы которой является многочленами от λ.

А (λ) = (а_ik (λ)) = ((а_ik λ^l1 + а_2k λ^l-1 +…+ а_ik^l-1 λ + а_ik)

i = 1, m

k = 1, n

l – наиб. из ступеней многочленов.

Полагая А_j = (а_ik), можно представить многочленную матрицу в виде матричного многочлена относительно λ, т.е. в виде многочлена с матричным коэффициентом. А (λ) = А₀ λⁱ + A₁ λ^i-1 +…+ A_l-1 λ + A_l. Над λ – матрицами можно совершить ЭП аналогичны ЭП обычного вида.

А (λ), В (λ) – одинак. размера называется эквивалентными, если от матрицы А (λ) и В (λ) можно перейти с помощью конечного числа ЭП. Множества всех λ – матриц данных размером m*n разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Каждый класс эквивалентных матриц характеризуются канонической или нормальной λ – матрицей данных размеров. Канонической или нормальной λ – матрицей у которой диагонали стоят многочлены. Е₁ (λ), Е₂(λ), … , Е_р(λ), p = min (m, n) ≠ 0 имеют старшие коэффициенты равные 1 и каждый следующий многочлен делится на предыдущий, все элементы вне главной диагонали равны 0.

19. Теорема Кронекера-Капелли.

Определение: системой m лин. уравнений от n переменных называется совокупность:

(1)

a_ij – числа; b_i – свободные члены; x_j – переменная (неизв.)

b₁ = b₂ = … = b_n = 0, то система 1 называется однородной.

Упорядоченная совокупность чисел С₁,С₂… С_n называется ……… при подстановке этих чисел в системе вместо неизв. x₁, x₂ … x_n соответствует каждое уравнение обращается в тождество. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы 1 решение. Система называется определённой, если она имеет хотя бы 1 решение. Две системы с одинаковым числом неизвестных называется эквивалент, если множество всех решений этих систем совпадают.

Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда оси равен рангу расширенной. Доказательство:

Необходимость → ) → Ǝ С₁ … С_n; B = C₁a₁+…+C_na_n → B – лин. комб. Столбцов матрицы А → r (A=r(A*))

• Достаточность. Пусть r (A) = r(A*) = r. Возьмём в матрице А базисный минор, т.к. r (A*) = r, то он будет и базисным минором в матрице А*. Тогда по теореме последний столбец в матрице А* будет лин. комб. базисных столбцов свободных членов является лин. комб. столбцов матрицы А.

20. Методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Метод обратной матрицы.

Матричный способ А*Х = В. умножим матрицу уравнения А*Х = В слева на А^-1 ; А^-1 * (А*Х) = А^-1 *В; (А^-1*А)*Х = А^-1*В

Е*Х = А^-1*В

Х = А^-1*В

m=n система принимает вид

Метод обратной матрицы.

21. Методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера.

Правило Крамера. Система линейных уравнений с квадратно невырожденной матрицей совместно и имеет единственное решение, которое задается формулами.

По первому способу:

22. Системы общего вида. Логическая структура модели процесса определения количества решений СЛАУ.

23. Метод Гаусса.

Пусть дана систем n линейных уравнений с n неизвестными. Алгоритм решения:

• Составим расширенную матрицу

Используем ЭП приводит её к матрице ступенчатого вида.

• Выясним совместимы системы или нет для этого определим

r (A) = r(A*) → система несовм. → процесс завершён

r (A) = r(A*) → система совм. → п.4

• Определить количество решений

• Восстановить по ступ. матрице сист. Лин. уравнений:

r=n, то система имеет вид . Из последнего уравнения получаем значения для x_n подставляем его в предпоследнее уравнение и находим значения x_n-1 и т.д.

r<n, то раздел. Пункты 1-4 алгоритма сост. Прямой ход метода Гаусса, 5-ый пункт обратимый.

Замечание: Обратный ход требует выполнения порядка Q (n²) умножим, прямой ход n³:3 + Q (n²) операций умножения.

24. Определение векторного пространства. Примеры.

Пусть Р множество действительных (комплексных) числе P=R (C)

Непустое множество V называется линейным пространством если на нём заданы 2 отображения (функции):

+ :V+V → V

* :V*P → V

f:x → У (+:<a,b> →

f≤ x*У

Vx Є x Э! у Є У (<x,y

x*У ↔ {<x,y> (x Є x, y Є У)

V↔ <V, + , * λ >

Заданы 2 функции удовлетворяющие след. аксиомам

• Для любых a, b Є V ( для любых a, b <V (a+b=b+a) - аккумутатив.

• Для любых a, b, c (a+b)+c = a+(b+c) – ассоциативн.

• Существует Θ, что для любых а Θ+а = а+ Θ=а, Θ – нулевой

• Для любых а, существует а, что а+а = а’+a= Θ – элемент a’ – противоположный элемент к а.

II. Аксиомы умножения на число

• λ*a=a 1Є P

• Для любых λ, μ из Р и любых а из V (λ* μ)*a= λ* (μ*a)

III. Аксиомы связывающие сложение и умножение

• Для любых λ, μ Є Р и а Є V (λ + μ)*a= λ*a + μ*a

• Для любых λ Є Р и а, b Є V λ*(a + b)= λ*a + λ*b

Определение: разностью элементов a и b называется элемент х из V такой, что а = b + x ↔ x = a*b

Вектор – это элемент векторного пространства.

Примеры: 1) * V₁ множество всех векторов на прямой

• множество V₂ всех векторов на плоскости

• множество V₃ всех векторов в пространстве

2) * множество комплексных чисел, где в качестве множества Р выступает R число

* множество действительных чисел, где множество Р выступает R число

* множество комплексных чисел, где множество Р выступают комплексные числа

* множество действительных чисел, где множество Р выступают рациональные числа (Q)

Для любых а Є R любых λ Є С Ǝ! b Є R (λ * a = b)

a = 5 λ = 1+i

λ = (1+i)*5 = 5+5i Є C, и не принадлежит R

3) Множество действительных матриц относительно сложения матриц и умножения на число.

4) Пусть Rⁿ это множество всевозможных упорядоченных наборов n действительных чисел Rⁿ ↔ { <a₁, … a_n>| a₁, … a_n Є R} является линейным пространством R – ое называется арифметическим векторным пространством. Операции:

a = <a₁, … a_n>, b = <b₁, … , b_n>

a+b = < a₁ + b₁, …, a_n + b_n >

λa ↔ λ a₁, … , λa_n>

a и b называются равными, когда a₁ = b₁1 … 1a_n = b_n

25. Свойства векторных пространств.

В линейном пространстве существует единичный линейный вектор

(любой а (Θ))

Доказательство: предположим Θ₁ и Θ₂ – нулевые векторы

Пусть Θ₁ – нулевой вектор → Θ₁ + а = а + Θ₁ = а любых а Є V → a = Θ₂ → Θ₁ + Θ₂ = Θ₂ + Θ₁ = Θ₂

Пусть Θ₂ нулевой вектор → Θ₂ + а = а + Θ₂ = а, любое Є V → a = Θ₁ → Θ₂ + Θ₁ = Θ₁ + Θ₂ = Θ₁ тогда Θ₂ = Θ₁

Любые вектора лин. пространства существует ед. противоположный элемент.

В лин. пространстве справедливое равенство:

0*а = Θ, λ*Θ = Θ

Если λ*а = Θ то либо λ = 0, то либо а – нулевой вектор.

В лин. пространстве любого вектора а противоположный вектор. –а = (-1)*а

26. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

Определение: пусть a₁, … , a_n Є V; λ₁ , … , λ_R – числа

Вектор: λ₁ a₁ + λ_n a_n

Система векторов a₁, … , a_n называется линейно зависимый если существует числа λ₁ , … , λ_n – что не все они равны 0, что λ₁ a₁ + λ_n a_n = Θ

Система векторов a₁, … , a_n называется линейно не зависимой если из равенства следует, что λ₁ , … , λ_n = 0

Теорема 1. Система состоит из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда когда этот вектор нулевой. а – лин. зависима ↔ а = Θ

Доказательство: пусть система состоит из первого вектора линейно зависима существует λ такие, что λ ≠ 0, → x*a = Θ

Теорема 2. Система векторов a₁, … , a_n где n >1 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражаются через другие.

Теорема 3. Если подсистема система векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Доказательство: пусть a₁, … , a_s, a_i+1, … , a_n - система векторов a₁, … , a_s – её линейно зависим.

Теорема 4. Если система линейно независима, то любая её подсистема линейно не зависима. Любая подсистема линейно независимой, система векторов, линейно независима. Если существует линейно зависима подсистема то её система линейно зависима.

Теорема 5. Система векторов a₁, … , a_n линейно независима тогда и только тогда, когда любой вектор являющийся линейной комбинацией. Имеют ед. разлож. по этим векторам. Доказательство: пусть существует вектор в который имеет 2 различ. разложения по векторам a₁, … , a_n

(λ₁ - μ₁) a₁ ,… , (λ_k – μ_k) a_n = Θ → лин. зависимы a₁, … , a_n противоречит (a₁, … , a_n – лин. не зависима).

X_i – μ_i ≠ 0

Пусть a₁, … , a_n лин. зависима, то λ₁ , … , отсюда следует 2 различных разложения по векторам a₁, … , a_n а – это противоречит тому что разложение может быть единственным.

Теорема 6. Если система векторов a₁, … , a_n лин. независима, система векторов a₁, … , a_n , b, лин. зависима, то следует, что вектор b лин. выражается через вектор b = x₁a₁ + … + λ_k a_k. Доказательство: если λ_k+1 = 0 то тогда ненулевой элемент находится среди чисел λ₁, … , λ_k → a₁, … , a_k - лин. зав., но это противоречит условию, следовательно: λ_k+1 ≠ 0, тогда: - (λ₁ : λ_k+1) * a₁ + … + (- λ_k : λ_k+1) * a_k .

27. Базис и размерность векторного пространства.

Определение: базисом линейного пространства называется упорядоченная лин. независимость системы векторов пространства, через которую линейно выражается любой вектор пространства.

Примеры: V = C, P = R {1; i}

Определение: количество векторов базиса называется размерностью линейного пространства (dim V).

dim C = 2

Линейное пространство размерности (n) называется энмирным пространством. Любое энмирное пространство называется конечно мирным лин. пространством. Размер нулевого пространства считают равным нулю. В энмирном пространстве любые n линейно независимые векторы образуют базис. В энмирном пространстве любая система из S векторов, где (S> n) линейно зависима.

Теорема 2. Вложение вектора по базису единственна.

28. Координаты вектора.

Определение: коэффициенты разложения вектора по базису, называются координатами вектора в этом базисе. Обозначение: если l₁, … l_n базис пространства и x = x₁l₁ + … + x_nl_n (1) то x_l = (…;x_l; …; x_n) (в столбик) (разложения вектора по базису l) (l) и называется вектор столбцом из координат в этом базисе. Столбец x_l называется координатным столбцом вектора х в базисе l₁, … l_n

L = (l₁, … l_n) (3)

X = e * x_l (4)

Пример: C, R

L = {1; i} f = {-0,5; 3i}

1+2i = (1;2)_l = (-2; 2/3)*f

При сложении векторов их координаты в одном базисе складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на число.

29. Преобразование координат при изменении базиса.

Пусть l = (l₁, … l_n) (1, f = (f₁, … , f_n) (2) два базиса n – мирного пространства. Выясним как меняются координаты вектора при переходе от базиса l к базису f. Векторы 2-го базиса разлагаются по базису l.

f₁ = c₁₁l₁ + c₂₁l₂ + c_r1l_n

f₂ = c₂₁l₁ + c₂₂l₂ + c_r2l_n

f_n = c_1nl₁ + c_2nl₂ + c_nnl_n

матрица перехода от базиса l к базису f. Тогда соотношение 3 можно записать как f = l*3

Матрица перехода к другому базису является невозрождённой. Доказательство: пусть определитель С = 0. В силу линейности координат один из векторов f₁, … , f_n линейно выражается через другие векторы этой системы, но это противоречит линейной независимости f₁, … , f_n (т.к. они базисные).

Теорема 2. Если С матрица перехода от базиса l к f, то C^-1 матрица перехода от базиса f к l. Доказательство: пусть f = l*C | l^-1

f * C^-1 = (l*C) * C^-1 → f * C^-1 = l * (C * C^-1 ) = l * E = l

l = f * C^-1

Теорема 3. Координаты векторов в базисах l и f связаны между собой соотношением x * l = где С матрица перехода от l к f.

Доказательство: X = e * x_l ; f = l * C из этого всего следует, что x = l * x_l ; x = f * x_f = (l * C) * x_f = l * (C * x_f), тогда из единственности разложение по базису x_l = l * x_f .

30. Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфных пространств.

f: x → y; f<x * y Λ любой x Ǝ’ y (<x, y>Є f)

1) f – инъекция (отображение «b»)

V x₁, x₂ Є X (x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f (x₂))

2) f сюръекция (отображение «на») у каждого образа существуют прообразы

Любой y Є У Ǝ x Є X (y = f(x)) <x, y> Є f

Определение: два линейных пространства V₁ и V₂ называются изоморфными, если существуют биективные отображения φ₁, которое сохраняет операции, т.е. для любых x, y Є V₁ и любых λ Є Р выполняется φ (x + y) = φ (x) +φ (y)

2) φ (λx) = λφ (x)

V₁ ↔ < V₁; +; *λ> φ (x + y) = φ (x) + φ (y)

V₂ ↔ < V₂ ; +; *λ> φ (λ * x) = λ * p (x)

Отображение φ называется изоморфизмом линейных пространств.

- гомоморфизм

- мономорфизм инъективный гомоморфизм

- эпиморфизм сюрективный гомоморфизм.

Свойство изоморфных пространств:

1) φ (λ₁ a₁ + … + λ_n a_n) = χ₁ * φ (a₁) + … + λ_n φ (a_n)

2) φ (Θ₁) = Θ₂

3) a₁, … , a_n лин. независимая система в V₁ → φ (a₁) … φ (a_n) – зависима в V₂

4) l₁, … l_n базис в V₁ → φ (l₁) … φ (l_n) – базис в V₂.

31. Критерий изоморфизма векторных пространств.

Пусть пространства V и V' заданы над одним и тем же полем F. Биекция fi: V -> V' наз. изоморфизмом, если для любых векторов из V и любого alfa из F верно:

1) fi(a+b)=fi(a)+fi(b).

2) fi(alfa*a)=alfa*fi(a).

Свойства:

1) Отображение, обратное изоморфному - изоморфизм.

2) Образом нулевого вектора в пространстве V при изоморфизме является нулевой вектор пространства V', т.е. fi(o)=o.

3) л.з. отображается в л.з.

4) л.н. отображается в л.н. (следствие свойств 1 и 3).

5) базис - в базис.

Док-во: по свойству 4 базис отображается в л.н. систему. при этом по св-ву 3 любая л.з. система отображается в л.з. систему. Таким образом, базис отображаемтся в наибольшую л.н. систему, т.е. в базис.

6) Отношение изоморфности является отношением эквивалентности.

Док-во: Рефлексивность - пространство изоморфно самому себе.

Симметричность - см. св-во 1.

Транзитивность. Докажем, что если V~=V', V'~=V'' то v~=V''. Действительно, если fi и fi' - изоморфизмы из V в V' и из V' в V'', что произведение изоморфизмов psi=fi*fi', определяемой формулой psi(a)=fi(fi'(a)) есть изоморфизм V в V''.

Критерий изоморфности.

Для того, чтобы пространства V и V', заданные над одним и тем же полем, были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы dim(V)=dim(V').

Необходимость: следует из св-ва 5.

Достаточность: т.к. V~=F^n, V'~=F^n, то в силу отношения эквивалентности имеем V~=V'.

32. Евклидовы и унитарные пространства. Примеры. Свойства скалярного произведения.

Определение. Евклидовым пространством называется вещественное линейное пространство   с заданной на   положительно определенной симметрической билинейной функцией   , которая называется скалярным произведением и обозначается

Пример. Рассмотрим примеры евклидовых пространств.

 Арифметическое пространство   . Если   и   -- столбцы координат векторов   и  соответственно в стандартном базисе, то   .

 Пространство   непрерывных функций на   . Для любых двух функций  полагаем   .

 Пространство многочленов степени не больше   . Для любых двух многочленов  полагаем   .

Определение. Пусть   --   -мерное евклидово пространство с базисом   .Матрица Грамма базиса   -- это матрица

Определитель   матрицы Грамма   называетсяопределителем Грамма.

Определение. Вектора   называются ортогональными, если   . Длинавектора   -- это неотрицательное число   . Если   , то уголмежду   и   определяется по формуле   .

Теорема. Если векторы   ортогональны, то   .

Теорема. Если   -- ортогональная система ненулевых векторов, то она линейно независима.

Теорема.[Неравенство Коши-Буняковского] Для любых векторов   евклидова пространства   справедливо неравенство   . Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы   и   линейно зависимы.

Следствие.[Неравенство Коши] Для всяких векторов чисел   и  справедливо неравенство   .

Следствие.[Неравенство Буняковского] Для любых чисел   и любых непрерывных функций   справедливо неравенство  .

Следствие.[Неравенство треугольника] Для всяких векторов   евклидова пространства   справедливо неравенство   .

Определение. Унитарным пространством называется линейное пространство над полем комплексных чисел   , на котором определена эрмитова положительно определенная функция. Она обозначается также   .

Теорема. Для любых векторов   унитарного пространства   справедливо неравенство   .

Определение. Базис   в евклидовом (унитарном) пространстве   называетсяортогональным нормированным (ортонормальным), если для любых базисных векторов справедливо равенство   .

Замечание. Из следствия следует, существования такого базиса. Заметим, что матрица Грамма в этом базисе единична.

Определение. Пусть   -- произвольная квадратная матрица над   . Система столбцов в   называется ортонормальной системой, если   . Матрица  называется ортогональной, если система ее столбцов ортонормальна.

Теорема. Для всякой квадратной вещественной матрицы   порядка   следующие условия равносильны:

 система строк матрицы   ортонормальна;

 система столбцов матрицы   ортонормальна;

   .

Следствие.   Если   -- ортогональна, то   .

 Если   -- ортогональна, то   -- ортогональна.

 Если   и   -- ортогональные матрицы, то матрица   тоже ортогональна.

Замечание. Ортогональные матрицы образуют группу   .

Определение. Комплексная матрица   называется унитарной, если   .

Теорема.   Если   -- унитарная матрица, то   .

 Если   -- унитарная матрица, то   -- унитарная матрица.

 Если   и   -- унитарные матрицы, то матрица   тоже унитарная.

Замечание. Унитарные матрицы образуют группу   .

Теорема. Пусть   -- ортонормальный базис евклидова (унитарного) пространства   . Базис   является ортонормальным тогда и только тогда, когда матрица перехода от базиса   к   является ортогональной (унитарной).

Определение. Изоморфизмом   евклидовых (унитарных) пространств   и  называется такой изоморфизм линейных пространств, для которого  для любых векторов   .

Теорема. Два конечномерных евклидовых (унитарных) пространства   и   изоморфны тогда и только тогда, когда   .

Пусть   --   -мерное евклидово пространство, и   -- его сопряженное. Положим для любого вектора   по определению   , где   .

Теорема.     является линейной функцией на   , т.е.   .

 Имеется естественный изоморфизм   между   -мерными евклидовым пространством   и   .

Процесс ортогонализации. Пусть даны линейно независимые векторы   . Требуется найти такие векторы   , что   при   и  . Тогда   и  .

Берем   . Хотим   и   , тогда   (   ).

На   -ом шаге получаем,   и   .

Определение. Определитель матрицы Грамма векторов   называется квадратом   -мерного объема параллелепипеда, натянутого на   .

Теорема. Определитель Грамма не меняется при процессе ортогонализации.

Определение. Пусть   -- подпространство евклидова пространства   . Ортогональным дополнением   к подпространству   в   называется множество  .

Теорема. Множество   является подпространством и   .

Пусть   и   . Мы хотим найти разложение   , где   , а  (   называется ортогональной проекцией, а   -- ортогональной составляющей). Ищем   . Надо решить систему   из   уравнений. Определитель системы -- это определитель Грамма. Решая систему, находим   .

Утверждение. Пусть   -- подпространства в евклидовом пространстве   . Тогда справедливы равенства:   и   . 

34. Неравенство Коши-Буняковского.

Для произвольных  и  имеет место

где  .

Причем равенство в достигается в том и только в том случае, когда числа  . и  пропорциональны, т.е. существует константа  такая, что для всех  выполняется равенство  .

На основе использования неравенства Коши--Буняковского можно доказать неравенство

которое справедливо для произвольных  ,  и натурального числа  .

35. Ортогональная система векторов. Теорема о линейной независимости ортогональной системы ненулевых векторов.

Ортогона́льная систе́ма элементов векторного пространства со скалярным произведением — такое подмножество векторов  , что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

.

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента   может быть вычислено по формулам:  , где  .

Случай, когда норма всех элементов  , называется ортонормированной системой.

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения:  , где   и  .

Т1 (Линейная независимость ортогональной системы векторов):

Пусть e1,e2,…,en - ортогональная система ненулевых векторов, тогда e1,e2,…,en – линейно независима.

Пусть e1,e2,…,en линейно зависимы, тогда хотя бы один из них будет выражаться в виде линейной комбинации остальных:

например, e1= 2e2+…+ nen

2e2 e1=0 nen e1=0

получили противоречие.

Опр.1:Базис e1, e2 ,…, en наз. ортонормированным,

если все векторы базиса попарно ортогональны и

норма каждого вектора равна единице.

36. Процесс ортогонализации Грама –Шмидта.

Процесс Грама (англ.) ― Шмидта — это один из алгоритмов, в которых на основе счётного множества линейно независимых векторов   строится множество ортогональных векторов   или ортонормированных векторов  , причём так, что каждый вектор   или   может быть выражен линейной комбинацией векторов  .

Алгоритм

Пусть имеются линейно независимые векторы  .

Определим оператор проекции следующим образом:

где   — скалярное произведение векторов   и  . Этот оператор проецирует вектор   ортогонально на вектор  .

Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:

На основе каждого вектора   может быть получен нормированный вектор:   (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а длина — единичной).

Результаты процесса Грама — Шмидта:

 — система ортогональных векторов либо

 — система ортонормированных векторов.

Вычисление   носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а   — ортонормализации Грама — Шмидта.

Доказательство

Докажем ортогональность векторов  .

Для этого вычислим скалярное произведение  , подставив в него формулу (2). Мы получим ноль. Равенство нулю скалярного произведения векторов означает, что эти вектора ортогональны. Затем вычислим скалярное произведение  , используя результат для   и формулу (3). Мы снова получим ноль, то есть вектора   и   ортогональны. Общее доказательство выполняется методом математической индукции(Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход).

37. Расстояние в евклидовом (унитарном) пространстве.

Евклидово пространство (в математике), пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. называется n-мepное векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты (декартовы) так, что метрика его будет определена следующим образом: если точка М имеет координаты (х1, х2,..., xn), а точка М* — координаты (x1*, x2*,..., xn*), то расстояние между этими точками

38. Выпуклые множества. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

39. Определение линейного оператора. Простейшие свойства.

Св

Свойства:

1)    постоянный множитель можно выносить знак оператора

2)    оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

В справедливости этих свойств легко убедиться непосредственной проверкой. В самом деле, имеем

Из этих основных свойств оператора L следует, что

т.е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

Используя оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнения (1.1.1) и (1.1.2) соответственно в виде

                                                                                                           (1.1.4)

и

                                                                                                               (1.1.5)

40. Матрица линейного оператора: построение матрицы линейного оператора.

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис  . Пусть   — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где   — координаты вектора   в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть   — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора   также разложим в выбранном базисе, получим

,

где   —  -я координата  -го вектора из  .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение  , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица   при умножении на столбец  даёт в результате координаты вектора  , возникшего от действия оператора   на вектор  , что и требовалось получить.

41. Матрица линейного оператора: координаты вектора и его образа.

42. Собственные значения и собственные векторы.

Пусть   — линейное пространство над полем  ,   — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования   называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого 

Собственным значением линейного преобразования   называется такое число  , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение   имеет ненулевое решение  .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный  , а соответствующий скаляр   называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования   для данного собственного числа   (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  . По определению,

где   — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования   для данного собственного значения   называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого натурального числа 

Если   является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть  ), то   называется высотой корневого вектора  .

Корневым подпространством линейного преобразования   для данного собственного числа   называется множество всех корневых векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  . По определению,

где 

43. Характеристический многочлен.

44. Нахождение коэффициентов характеристического многочлена методом д.К.Фаддеева.

Д. К. Фаддеев предложил метод одновременного определения скалярных коэффициентов   характеристического многочлена

         (39)

и матричных коэффициентов   присоединенной матрицы  .

Для изложения метода Д. К. Фаддеева введем понятие о следе матрицы.

Под следом матрицы   (обозначение:  ) понимают сумму диагональных элементов этой матрицы:

.                                      (40)

Нетрудно видеть, что

,                              (41)

если   — характеристические числа матрицы  , т. е.

.      (42)

Так как, согласно теореме 3, степень матрицы   имеет своими характеристическими числами степени    ( ), то

      .     (43)

Суммы   степеней корней многочлена (39) связаны с коэффициентами этого уравнения формулами Ньютона

    .    (44)

Если вычислить следы   матриц  , то затем можно из уравнений (44) последовательно определить коэффициенты  . В этом состоит метод Леверрье определения коэффициентов характеристического многочлена по следам степеней матрицы.

Д. К. Фаддеев предложил вместо следов степеней   вычислить последовательно следы некоторых других матриц   и с их помощью определить   и   следующими формулами:

    (45)

Последнее равенство   может быть использовано для контроля вычислений.

Для того чтобы убедиться, что числа   и матрицы   и последовательно определяемые по формулам (45), являются коэффициентами   и  , заметим, что из (45) вытекают следующие формулы для   и   ( ):

,    .   (46)

Приравняем между собой следы левой и правой частей первой из этих формул; получим:

.

Но эти формулы совпадают с формулами Ньютона (44), по которым последовательно определяются коэффициенты характеристического многочлена  . Следовательно, числа   определяемые по формулам (45), и являются коэффициентами  . Но тогда вторые формулы (46) совпадают с формулами (33), но которым определяются матричные коэффициенты   присоединенной матрицы  . Следовательно, формулы (45) определяют и коэффициенты   матричного многочлена  .

Пример.

,   ,   ,

,   ,   ;

,   ,   ;

,   ,  ,

,   .

Замечание. Если мы хотим определить   и только первые столбцы в  , ,  то достаточно вычислить в   элементы 1-го столбца и только диагональные элементы остальных столбцов, в   — только элементы 1-го столбца, в   — только два первых элемента 1-го столбца.

Успеха!