Разбор варианта контрольной работы
Задача №1 составлена на тему «Элементы комбинаторики». Задача решается непосредственным применением правила произведения или суммы. Важно понять, как именно происходит выбор того или иного объекта, важен ли порядок выбора или нет.
Пример: Игральный кубик бросают трижды. Сколько разных последовательностей цифр можно при этом получить?
Мы три раза подбрасываем кубик и следим, какая цифра выпала. Каждый раз у нас есть шесть вариантов: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. При этом нам важно, какая цифра выпадает в какой последовательности. Так наборы 3, 4, 5 и 4, 3, 5 для нас различны. По правилу произведения имеем 6•6•6 = 216.
Задача №2 на прямое применение определения вероятности события, как отношения числа благоприятствующих событию исходов к общему числу исходов.
Пример: Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4.
Посчитаем общее количество исходов нашего испытания. На одной из костей может выпасть любое количество очков от 1 до 6 и на второй кости так же шесть вариантов, то есть всего по правилу произведения 6•6 = 36 исходов.
Посчитаем количество благоприятных исходов. Их всего 3: на первой кости 1, а на второй кости 3 очка; наоборот, на первой кости 3, а на второй 1 очко; на обеих костях по два очка. А значит, вероятность выпадения четырех очков равна:
3 1
P= =
36 12
В задачах №3 и №4 важно понять на какие более мелкие события разбивается данное событие, и как эти события связаны: должно быть одновременное выполнение их (союз «и»), или важно выполнение одного из них (союз «или»). После чего, следует применить формулу вероятности суммы или произведения.
Пример: Три команды А1, А2, Аз спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что команды общества А выиграют у команд общества В, таковы: при встрече А1 с В2 — 0,8; А2 с В2 — 0,4; Аз с Вз — 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех. (Ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее?
Для того чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать какова вероятность победы каждого из обществ. Заметим, что победа одного
из обществ означает поражение для второго, т. е. события: А - победило общество А и В — победило общество В - являются противоположными, а значит сумма их вероятностей равна единице. Нам достаточно найти вероятность одного из этих событий, пусть А.
Для того, чтобы произошло событие А, общество А должно победить по крайней мере в двух матчах, т. е. в двух или в трех. Пусть событие А1 - общество А1 победило у общества В1; событие А2 - общество А2 победило у общества В2; событие А3 - общество А3 победило у общества В3. Тогда событие А можно представить в виде:
А = А1 • А2• А3 + А1 • А2 • А3 + А1 • А2 • А3 + А1• А2• А3
С обытия А1 • А2 • А3; А1 • А2 • А3; А1 • А2 • А3; А1 • А2 • А3 являются несовместными, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей. А события А1, А2 и А3 являются независимыми. Поэтому:
Р (А) = Р(А1) • Р(А2) • Р(А3) + Р(А1) • Р(А2) • Р(А3) + Р(А1) • Р(А2) • Р(А3)+
+ Р(А1) • Р(А2) • Р(А3 ) = 0,8 • 0,4 • 0,4 + 0,8 • 0,4 • (1 - 0,4) + 0,8 • (1 - 0,4) • 0,4+
+ (1-0,8)•0,4•0,4 = 0,544
Тогда Р(В) = 1- Р(А) = 1-0,544 = 0,456. То есть победа общества А
более вероятна.
Задача №5 на применение формулы полной вероятности. Важно понять вероятность какого события надо найти, и от каких событий вероятность искомого события зависит.
Пример: В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке 10 радиоламп, из 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартная.
Нам требуется найти вероятность события А - лампа, наудачу извлеченная из первой коробки стандартная. Это событие зависит от того, какую лампу - стандартную или нестандартную - мы переложили из второй коробки в первую. Пусть событие В1 - из второй коробки
в первую переложили стандартную деталь; В2 - из второй коробки в первую переложили нестандартную деталь. События В1 и В2 несовместны и образуют полную группу событий, то есть мы находимся в условиях формулы полной вероятности.
9 19 1 18 189
Р (А) = Р(В1)-РВ1(А) + Р(В2)•РВ2(А) = • + • = =0,9
10 21 10 21 210
Задача №6 на тему «Математическое ожидание дискретной случайной величины».
Пример: 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятности попадания для первого стрелка при одном выстреле —
0,5, для второго — 0,4. Дискретная случайная величина X — число попаданий в мишень. Найти закон распределения и математическое ожидание величины X.
Наша дискретная величина может принимать 3 значения: 0 -никто не попал, 1 - один попал, а второй нет, 2 - оба стрелка попали. Составим закон распределения:
-
X
0
1
2
P
(1-0,5)•(1-0,4)=0,3
1-0,3-0,2=0,5
0,4•0,5=0,2
Математическое ожидание равно:
М(Х) = 0 • 0,3 +1 • 0,5 + 1 • 0,5+2 • 0,2 = 0,9.
Задача №7 на тему «Функция распределения случайной величины».
Пример: Дискретная случайная величина задана таблицей распределения:
X |
1 |
4 |
8 |
P |
0,3 |
0,1 |
0,6 |
Найти функцию распределения и начертить ее график.
Если x ≤1, то F(х)= 0 (четвертое свойство). Если 1 ≤ х ≤ 4, то
F(х) = 0,3. Действительно X может принять значение 1 с вероятностью 0,3. Если 4 < х ≤ 8, то F(х) = 0,4, как сумма 0,3+0,1. Если х > 8,
то F(х) =1. Так как событие X ≤ 8 является достоверным.
Итак функция распределения аналитически может быть записана как:
0 , при х≤1
F(х)=
1
0,4,при 4<х≤8 1,при х>8
X
0
1
4
8