7 Перечислите свойства множества планов р

Множество планов Р задачи линейного программирования (ЗЛП) есть замкнутое выпуклое множество.

Множество Р может быть как ограниченным, так и неограниченным, кроме того оно может оказаться пустым.

Теорема 3.2 (о крайней точке). Опорный план ЗЛП является крайней точкой множества P’ и наоборот.

Следствие 1. Крайняя точка множества P’ может иметь не более m строго положительных компонент.

Следствие 2. Число крайних точек множества P’ конечно и не превышает .

Следствие 3. Если множество P’ ограниченное, то оно является выпуклым многогранником

Теорема 3.3 (о существовании опорного плана или решения ЗЛП). Если линейная форма ограничена сверху на непустом множестве P’, то ЗЛП разрешима, то есть существует такая точка , что .

Теорема 3.4. Если множество P’ не пусто, то оно имеет опорный план (или крайнюю точку).

Т еорема 3.5. Пусть векторы – планы задачи линейного программирования. Тогда вектор

(3.34)

где

(3.35)

б удет решением задачи линейного программирования тогда и только тогда, когда её решением является каждый из векторов

(План или допустимое решение задачи линейного программирования – вектор пространства Е_n, компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи.)

8 Дайте определение оптимального плана кзлп.

Планы соответственно прямой и двойственной ЗЛП являются оптимальными тогда и только тогда, когда

. (4.14)

Условия (4.14) называются условиями дополнительной нежесткости.

Примечание 1. Для основной ЗЛП и двойственной к ней ЗЛП условия нежесткости имеют вид:

. (4.15)

План = (Х₁^*,…Х_n^*) будем называть решением задачи линейного программирования, или ее оптимальным планом, если

.

(План или допустимое решение задачи линейного программирования – вектор пространства Е_n, компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи. Оптимальные решения, – решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.)

9 Какая ЗЛП называется разрешимой?

Будем говорить, что задача линейного программирования разрешима, если она имеет хотя бы один оптимальный план. У неразрешимой задачи или пуста область допустимых решений, или целевая функция не ограничена.

10 Дайте определение выпуклого множества.

Множество точек Р пространства E_n есть выпуклое множество, если вместе с любыми двумя его точками и ему принадлежит и любая выпуклая линейная комбинация этих точек, то есть если , , то и любая точка

, 0 ≤ λ ≤ 1

также принадлежит множеству Р.

11 Дайте определение гиперплоскости.

Множество точек = (Х₁, Х₂,…, Х_n) пространства E_n , компоненты которых удовлетворяют условию

C₁X₁ + C₂X₂ +…+ C_nX_n = b,

называется гиперплоскостью пространства E_n.

12 Дайте определение полупространства.

Множество точек = (Х₁, Х₂,…, Х_n) пространства E_n , компоненты которых удовлетворяют условию

C₁X₁ + C₂X₂ +…+ C_nX_n ≤ b ( ≥ b ),

называется полупространством пространства E_n.

Очевидно, что гиперплоскость и полупространство являются выпуклыми множествами пространства E_n.

13 Что называется крайней, или угловой точкой множества Р?

Точка выпуклого множества К является крайней, если в К не существует таких точек и , ≠ , что

, при некотором .

Геометрически это означает, что эта крайняя точка не может лежать внутри отрезка, соединяющего две точки выпуклого множества. Она лишь может быть одной из концевых точек этого отрезка.

14 Дайте определение градиента функции.

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении.

Вектор-градиент линейной формы , указывает направления возрастания функции .