2. Многие задачи метеорологии либо сводятся к процедурам интерполяции или экстраполяции, либо содержат в себе эти процедуры. Можно перечислить основные:

прогноз погоды представляет собой экстраполяцию метеорологических полей по времени;

экстраполяция в пространстве используется для продолжения метеорологических полей на неосвещенную данными наблюдений территорию;

к экстраполяции относится задача восстановления полей на больших высотах по данным на меньших высотах;

интерполяция метеорологических элементов со станций в узлы регулярной сетки, используемой при численном прогнозе;

точность интерполяции по горизонтали используется в качестве критерия при планировании сети станций и, в частности, при определении максимального допустимого расстояния между ними;

для определения рациональных сроков наблюдений исходят из точности экстраполяции или интерполяции по времени;

методы контроля метеорологической информации базируется на сопоставлении результатов наблюдений с результатами интерполяции в пункт наблюдения по данным соседних станций или соседних уровней.

Ряд других задач метеорологической теории и практики также связан с процедурами интерполяции и экстраполяции. Многие из таких задач будут рассмотрены в последующих главах.

3. По принципам, на которых базируются методы интерполяции и экстраполяции метеорологических полей, их можно подразделить на формальные, статистические и динамические. Под динамическими понимаются методы, основанные на уравнениях динамики атмосферы. Так, методы так называемого численного прогноза представляют собой динамические методы экстраполяции метеорологических полей по времени. Если существует диагностическое уравнение, описывающее распределение метеорологического элемента в пространстве, то интерполяцию или экстраполяцию такого элемента можно пытаться строить на основании этого уравнения. Такой метод тоже будет являться динамическим.

Методы, обеспечивающие при их многократном применении наилучшие результаты с точки зрения той или иной статистической характеристики, принято называть статистическими. Основой таких методов являются закономерности, установленные путем обработки массового материала наблюдений. Статистические методы интерполяции и экстраполяции метеорологических полей будут подробно рассмотрены в данной главе.

Наконец, под формальными методами понимают методы, которые базируются на предпосылках, не вытекающих ни из законов динамики атмосферы, ни из закономерностей, установленных эмпирическим путем. Это определение, как и сам термин «формальные методы», отнюдь не следует понимать в том смысле, что применение таких методов дает плохие результаты. Напротив, некоторые формальные методы обеспечивают в ряде случаев вполне удовлетворительные результаты и обладают определенными преимуществами — прежде всего преимуществом простоты — по сравнению с другими, с теоретической точки зрения более обоснованными методами. Так, методы формальной экстраполяции барических полей, базирующиеся на предположении о неизменности скорости перемещения барических образований в течение срока прогноза, дают в достаточно простых ситуациях неплохие результаты. Также удовлетворительные результаты при достаточно полной и точной исходной информации получаются при использовании, в процессе объективного анализа, формальных методов интерполяции, базирующихся на разложении полей по некоторой системе заданных функций от координат. Следует лишь иметь в виду, что априорные допущения, лежащие в основе формальных методов экстраполяции и интерполяции метеорологических полей, ограничивают область применения таких методов и возможности их совершенствования.

Существуют, наконец, методы интерполяции и экстраполяции, основанные на комбинировании рассмотренных только что подходов. Например, методы численного прогноза путем интегрирования уравнений динамики атмосферы с последующим введением поправок эмпирическим путем принадлежат к числу динамико-статистических. С некоторыми методами интерполяции и экстраполяции метеорологических полей, объединяющими в себе различные подходы к решению этих задач, мы также встретимся в дальнейшем.

4. В общем случае интерполяция (или экстраполяция) метеорологического элемента может производиться в четырех измерениях, составленных пространственными координатами и временем. Однако, для простоты последующих преобразований будем считать, что интерполяция элемента f(х) выполняется в точку х₀, при этом используются результаты измерений f(х_i). Тогда интерполяция элемента f по известным его значениям в точках х_i осуществляется по формуле

(5.13)

где вид функции F определяется применяемым способом интерполяции и взаимным расположением точек х₁, х₂, …, х_n. Результат интерполяции , вообще говоря, отличается от истинного значения элемента f₀, так что имеет место некоторая ошибка интерполяции

. (5.14)

Формула (5.13) записана в предположении, что нам известны истинные, точные значения элемента f в точках х₁, х₂, …, х_n. В действительности известны лишь данные наблюдений в этих точках

, (5.15)

отличающиеся от истинных значений f_i ошибкой Δ_i, которая обусловлена погрешностями измерения элемента f и его микрометеорологической изменчивостью.

Простейшим и вместе с тем весьма важным случаем является частный случай, когда функция F является линейной однородной функцией своих аргументов

, (5.16)

где а₁, a₂, ..., а_п — некоторые множители, не зависящие от наблюденных значений . Интерполяцию, производимую в этом случае, т. е. по формуле

(5.17)

называют линейной по отношению к наблюденным значениям, а коэффициенты a_i называют весовыми множителями (или просто весами).