- •1. Электрическая цепь и её элементы
- •1.1. Классификация электрических цепей и их
- •1.2. Двухполюсные элементы
- •1.3. Двухполюсные активные элементы
- •1.4. Двухполюсные пассивные элементы
- •Энергия, поступающая в данный элемент, преобразуется в тепловую (необратимо рассеивается). При этом мощность определяется по закону Джоуля-Ленца:
- •Напряжение на зажимах индуктивности возникает только при изменении потокосцепления:
- •2. Линейные электрические цепи постоянного тока
- •2.1. Закон Ома для участка цепи
- •2.2. Законы Кирхгофа
- •2.3. Энергетический баланс (баланс мощностей) в
- •2.4. Методы расчёта электрических цепей
- •2.5. Матричный метод расчёта
- •3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
- •Синусоидальный ток и основные его характеристики
- •Символический метод расчёта цепей
- •Активные и реактивные элементы
- •Определение токов в ветвях схем,
- •Активная, реактивная и полная мощности
- •Двухполюсник в цепи синусоидального тока,
- •Трёхфазные цепи, основные соотношения,
- •3. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
- •Синусоидальный ток и основные его характеристики
- •Символический метод расчёта цепей
- •Активные и реактивные элементы
- •Определение токов в ветвях схем,
- •Активная, реактивная и полная мощности
- •Двухполюсник в цепи синусоидального тока,
- •Трёхфазные цепи, основные соотношения,
- •5.Многополюсные цепи
- •5.1. Определение многополюсников
- •5.2. Основные уравнения четырёхполюсников
- •5.3.Простейшие схемы соединения
- •5.4. Схемы замещения четырёхполюсников
- •6. Переходные процессы в линейных электрических цепях
- •6.1. Общие положения
- •6.2. Законы коммутации, зависимые и
- •6.3. Классический метод расчёта
- •Подставив численные значения
- •6.4. Преобразование Лапласа
- •Изображение простейших функций времени
- •Операторный метод расчёта
- •Характеристики звеньев и систем
- •7.2. Понятие о передаточных функциях и частотных
- •Дискретный спектр. Апериодические сигналы и их спектры
- •Гармонический анализ и разложение функций
- •Некоторые свойства периодических кривых
- •Преобразование Фурье и спектральные
- •9. Основные понятия и модели теории электромагнитного поля
- •9.1. Основные понятия и определения
- •9.2. Потенциальные и вихревые поля
- •9.3. Основные величины электростатического поля
- •9.4. Основные величины поля электрического тока
- •Применяем теорему Остроградского-Гаусса
- •9.5. Основные величины магнитного поля
- •9.6. Передача энергии в электрических цепях.
- •Литература, использованная при составлении учебного пособия:
Преобразование Фурье и спектральные
характеристики апериодических сигналов
Во многих отраслях техники для выявления частотных и энергетических свойств непериодических импульсов и результатов их воздействия на избирательные (резонансные) системы применяют преобразование (интеграл) Фурье.
В предыдущих параграфах было рассмотрено разложение периодических функций f(t) в ряд Фурье. Такое разложение позволяет определить спектральный состав функции — амплитуды и начальные фазы её гармонических составляющих. Интеграл Фурье представляет собой предельный случай ряда Фурье для непериодической функции.
Для абсолютно интегрируемой функции в формулах прямого и обратного преобразования Лапласа можно принять р=j:
; (8.6)
. (8.7)
Формула (8.6) характеризует прямое преобразование Фурье, а формула (8.7) — обратное преобразование (интеграл) Фурье.
В формуле (8.6) предполагается, что функция f(t) задана при t>0, а при t<0 f(t)=0. Если же при t<0 f(t) отлична от нуля, то прямое преобразование Фурье имеет вид
(8.8)
и называется двусторонним.
Функция f(t) в соответствии с формулой (8.7) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармонических составляющих. У этих составляющих в отличие от гармоник периодических функций амплитуды бесконечно малы, а частоты принимают все значения в диапазоне 0— . Непериодическая функция имеет непрерывный (сплошной) спектр, тогда как спектр периодической функции является дискретным.
Функцию , определяемую по соотношению (8.6) или (8.8), называют спектральной функцией, спектральной характеристикой или спектральной плотностью. Модуль F() и аргумент функции F(j) называют соответственно амплитудной и фазовой спектральными характеристиками.
9. Основные понятия и модели теории электромагнитного поля
9.1. Основные понятия и определения
Если физическое состояние каждой точки в некотором пространстве характеризуется присущим данной точке значением той или иной векторной (или скалярной) величины, то говорят, что в этом пространстве существует векторное (или скалярное) математическое поле.
Рис.9.1.
Элементарный поток вектора Е
Скалярное произведение Eds=Eds cos(E, ds) называется элементарным потоком вектора Е через площадку ds. Интеграл этой величины, взятый по всей поверхности, окружающей рассматриваемый объём, Eds выразит полный поток вектора, выходящий из объёма.
Поток является скалярной величиной. Вычисление потока может производиться также и через какую угодно незамкнутую поверхность.
Рис.9.2.
Дивергенция вектора. Полный поток вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую малый объём, может быть равен нулю или же отличаться от нуля.
В первом случае в объёме не содержится ни источника, ни стока (некоторого физического объекта, в котором линия поля могла бы начинаться или заканчиваться). Ограничивающая объём замкнутая поверхность может, однако, оказаться дважды пронизанной линией поля, идущей от источника, расположенного вне данного объема, к стоку, также находящемуся вне его.
Во втором случае внутри объёма находится либо источник, либо сток.
Предел, к которому стремится отношение полного потока вектора через замкнутую поверхность к величине ограничиваемого ею объёма при бесконечном уменьшении последнего, называется дивергенцией или расходимостью вектора
.
Дивергенцию вектора в какой-либо точке можно условно охарактеризовать числом линий поля, начинающихся или заканчивающихся в малом объеме, центрированном в данной точке.
Дивергенция является скалярной величиной и она положительна, если линия поля начинается в малом объёме, или отрицательна, если линия поля в этом объёме заканчивается.
Ф
Рис.9.3. Дивергенция
вектора скорости
На рис. 9.3,б показан отрезок трубы, закрытой с левого конца. Вначале труба была закрыта крышкой и с правого конца, а внутрь трубы накачали газ до некоторого давления выше атмосферного. Затем крышку с правого конца трубы сняли и сжатый газ стал выходить в атмосферу. Если движение газа в трубе представить векторным полем скоростей v, то дивергенция (расходимость) скорости не будет равна нулю, так как общее количество газа в каком-нибудь выделенном внутри трубы объёме s, очерченном пунктирной линией, с течением времени не остается постоянным, а уменьшается вследствие расширения газа.
Ц
Рис.9.4.
.
Циркуляция обладает свойством аддитивности. Это означает, что сумма циркуляции по контурам Г1 и Г2, равна циркуляции по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Действительно, циркуляция C1 по контуру, ограничивающему поверхность S1, может быть представлена как сумма интегралов
. (9.1)
Первый интеграл берется по участку I внешнего контура, второй — по общей границе поверхностей S1 и S2 в направлении 2—1. Аналогично, циркуляция С2 по контуру, ограничивающему поверхность S2, равна
. (9.2)
Первый интеграл берется по участку II внешнего контура, второй — по общей границе поверхностей S1 и S2 в направлении 1—2. Циркуляция по контуру, ограничивающему суммарную поверхность S, может быть представлена в виде
. (9.3)
Вторые слагаемые в выражениях (9.1) и (9.2) отличаются только знаком. Поэтому сумма этих выражений оказывается равной выражению (9.3). Таким образом,
.
Доказанное соотношение не зависит от формы поверхностей и справедливо при любом числе слагаемых. Следовательно, если разбить произвольную поверхность S на большое число элементарных поверхностей S (рис.9.5), то циркуляция по контуру, ограничивающему S, может быть представлена как сумма элементарных циркуляции С по контурам, ограничивающим S:
.
Рис.9.5.
.
Знак ротора определяется правилом правоходового винта. Если винт поворачивать в плоскости контура циркуляции в направлении, показанном на рис.9.5, то поступательное движение за плоскость чертежа будет указывать направление ротора.