- •Лекция 1
- •Мир не линеен и поэтому сложен.
- •Основное свойство:
- •Линейное свойство:
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 6 лекция 7
- •Лекция 8
- •Лекция 9
- •Лекция 10 лекция 11
- •Свойства подобных матриц.
- •Лекция 12
- •Лекция 13 лекция 14
- •Лекция 15
- •Лекция 16
- •Программа по линейной алгебре для студентов 1 курса физического факультета
- •I. Матрицы и определители
- •II. Линейные пространства
- •III. Системы линейных уравнений
- •IV. Евклидовы и унитарные пространства.
- •V. Линейные операторы в конечномерном пространстве.
- •VI. Билинейные и квадратичные формы. Функции от матриц.
- •Д.К.Фаддеев ”Лекции по алгебре” 2005г.
- •1. Проскуряков м.В.: - Сборник задач по линейной алгебре
- •2.Фаддеев д.К., Соминский и.С.: - Задачи по высшей алгебре
Лекция 9
Продолжение лекции 8
-
«…И только теперь, когда ты вышел из берегов, увидел океан и познал свое ничтожество, с тобой можно говорить о великой истине»
Из беседы духа океана с духом реки в момент разлива реки.
3 , мерное комплексное евклидово пространство.
.
Общий вид задания скалярного произведения в
Рассмотрим два вектора и
, координаты векторов комплексные числа.
,
Первое условие. Так как, согласно первой аксиоме , то имеем следующие соотношения
,
, , ( )
Следовательно, , т.е. - матрица экмитовая.
Здесь мы ввели обозначение звездочку * - это знак эрмитова сопряжения.
Второе условие. Так как, согласно четвертой аксиоме , то
Следовательно, матрица должна определять положительно-определенную полуторалинейную форму.
4 , множество функций, определенных на отрезке .
, т.е. пространство бесконечноменое. Рассмотрим две функции и , . Определим скалярное произведение, используя определенный интеграл
. Это простейший случай задания.
В общем случае скалярное произведение имеет вид
, где функция положительна на отрезке . Эта функция называется функцией распределения, или весовой функцией. Все аксиомы выполнены.
Неравенство Коши –Буняковского :
Докажем неравенство для случая вещественного линейного пространства.
Рассмотрим векторы и и их линейную комбинацию , . Имеем
Это неравенство принимает лишь неотрицательные значения при любом . Следовательно, дискриминант не может быть положительным:
. Что и требовалось доказать.
Следствие. Из неравенства Коши – Буняковского следует неравенство
.
Извлекаем из этого выражения квадратный корень и получаем
, где - длина вектора .
Введем , где угол между векторами . Это можно сделать, так как выполняется очевидное условие.
.
Определение. Линейное пространство, в котором введена длина вектора , называется нормированным пространством, если выполнены три условия:
- неравенство треугольника.
Любое евклидово пространство всегда является нормированным пространством, так как длину вектора всегда можно определить как квадратный корень из скалярного произведения . При этом все три условия выполняются. Чтобы убедиться в этом, решите следующую задачу.
Задача. Доказать неравенство треугольника, используя неравенство Коши_Буняковского
Лекция 10 лекция 11
Инвариантное подпространство. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение. Структура линейного оператора. Спектр линейного оператора.
-
«Право на левой стороне»
Инвариантное подпространство. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение. Структура линейного оператора.
Поставим следующий вопрос: Как, и каким образом, мы можем изучить устройство или структуру линейного оператора?
Ответ: структура линейного оператора полностью определяется структурой (или видом) матрицы линейного оператора. Речь идет о приведение матрицы линейного оператора к наиболее простому виду при помощи выбора базиса. Очевидно, наиболее простой матрицей является диагональная матрица. Возникает вопрос, как найти этот базис?
Центральное место в решении этой задачи занимает понятие инвариантного подпространства, в особенности, одномерного инвариантного подпространства. Интересная и плодотворная картина структуры линейного оператора возникает для случая, когда линейный оператор производит отображение линейного пространства в себя .
Итак, рассмотрим в линейном пространстве некоторое подпространство , . Пусть линейный оператор, действующий в .
Определение. Пусть линейный оператор в . Подпространство называется инвариантным относительно действия оператора , если для каждого вектора из вектор также принадлежит .
Или: Подпространство инвариантно относительно действия оператора , если
Примеры инвариантных подпространств.
1.Нульмерное пространство (пространство, состоящее из нулевого вектора Пусть и .
2.Все пространство : и .
3. Ядро линейного оператора : и .
4. Образ линейного оператора : и .
Особую роль играют одномерные инвариантные подпространства в .
Пусть - одномерное инвариантное подпространство. В силу одномерности , очевидно, что вектор пропорционален для каждого вектора :
, где - коэффициент пропорциональности.
Определение. Вектор , удовлетворяющий соотношению , называется собственным вектором, а число - собственным значением линейного оператора .
Итак, если - собственный вектор, то векторы образуют одномерное инвариантное подпространство (линейная оболочка). Обратно, любой вектор одномерного инвариантного подпространства является собственным вектором.
Зададим вопрос: Может ли существовать собственный вектор линейного оператора? Ответ дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Всякий линейный оператор имеет, по крайней мере, один собственный вектор.
Доказательство. Предположим, что существует вектор : .
Выберем в базис . Линейному оператору в этом базисе соответствует некоторая матрица : . Тогда операторному соотношению будет соответствовать матричное соотношение:
,
или ,
(перенос правой части налево: или ).
В результате мы получили следующую систему однородных уравнений:
(1)
Данная система уравнений имеет неизвестных: среди них - неизвестных и число . Следовательно, для нахождения решения этой системы уравнений, необходимо еще одно уравнение, чтобы число неизвестных сравнялось с числом уравнений!
Мы знаем, что однородная система уравнений имеет нетривиальное решение , если меньше . Это условие можно записать в виде условия на определитель матрицы :
Мы получили уравнение степени относительно . Это уравнение называется характеристическим или вековым уравнением. Вот мы и получили недостающее -ое уравнение.
Это уравнение имеет, по крайней мере, один корень . Подставив в систему (1) вместо корень , мы получим однородную систему уравнений, определитель которой равен нулю, и имеющую, следовательно, ненулевое решение: . Тогда вектор будет собственным вектором, а собственным значением линейного оператора , так как
Теорема доказана.
Характеристический полином . Дадим следующее определение:
. Очевидно, что .
Спектр линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора. Подобные матрицы.
Следствие теоремы. Согласно основной теореме алгебры, всякое уравнение -ой степени имеет ровно корней. Следовательно, характеристическое уравнение имеет корней .
Определение. Множество собственных значений линейного оператора называется спектром линейного оператора.
Спектр линейного оператора не зависит от выбора базиса. Ниже мы докажем это свойство.
Рассмотрим в линейном пространстве некоторый линейный оператор .
Выберем в два базиса:
В базисе линейному оператору соответствует матрица : .
В базисе оператору будет соответствовать некоторая матрица : .
Итак
ТЕОРЕМА. Матрицы и связаны соотношением , где - матрица перехода от базиса к базису .
Доказательство. Итак, или .
Рассмотрим следующее выражение:
С другой стороны:
Сравнивая эти два соотношения, получаем
В матричном виде это равенство имеет следующий вид:
или
Теорема доказана.
Определение. Матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица и выполняется .