Лекция 8

Скалярное произведение и евклидово пространство. Примеры задания скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Нормированное пространство. Ортогональность. Ортогональный базис и его свойства. Матрица Грама.

«…поле наблюдения предметов, явлений, событий однородно и непрерывно в том смысле, что я могу переносить себя в любую точку в качестве носителя наблюдаемых событий и явлений – в этом суть классического идеала рациональности» М.К.Мамардашвили

Скалярное произведение и евклидово пространство.

Линейное пространство мы определили как множество, в котором заданы две операции

- сложение векторов;

- умножение вектора на число.

Однако содержание геометрии, как и алгебры, требует введение таких понятий как:

• длина вектора;

• угол между векторами;

• скалярное произведение;

• и др.

Из этих понятий основным является понятие скалярного произведения.

Замечание: понятия, утверждения и теоремы геометрии и линейной алгебры удобно иллюстрировать чертежами и рисунками. Однако это опасно и не всегда возможно, так как связано:

а) c малой размерностью (трехмерностью) пространства, в котором мы живем;

б) c необходимостью рассматривать комплексные числа;

в) c евклидовостью физического пространства (квантовая физика).

Кроме того, чертежи и рисунки несут принудительную информацию о метрических свойствах пространства – о длине, углах и т.п.

Определение. В линейном пространстве задано скалярное произведение, если каждой паре векторов и поставлено в соответствие некоторое число, обозначаемое и удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:

Для вещественного линейного пространства – вещественное число

Для комплексного линейного пространства - комплексное число

а к с и о м ы : -

1. 2. 3. 4. Причем при

1. 2. 3. 4. Причем при

Определение. Линейное пространство, в котором задано скалярное произведение, называется евклидовым пространством, вещественным и/или комплексным.

Примеры задания скалярного произведения.

1 , трехмерное вещественное евклидово пространство

Рассмотрим два вектора и .

Определим правило задания скалярного произведения следующей формулой

Легко проверить, что все 4 аксиомы выполняются.

2 , мерное вещественное евклидово пространство

А) Простейший случай. Рассмотрим два вектора

и .

Определим скалярное произведение следующей формулой

Б) Общий вид задания скалярного произведения в

,

где .

Матрица называется метрическим тензором. Метрический тензор, или матрица , задающая скалярное произведение, должен удовлетворять двум условиям:

- Первое условие. Так как, согласно первой аксиоме , то имеем следующие соотношения

,

, ( )

Следовательно, , т.е. - матрица симметричная.

- Второе условие. Так как, согласно четвертой аксиоме , то

Следовательно, матрица должна определять положительно-определенную при квадратичную форму.

3 , мерное комплексное евклидово пространство