- •Математическое моделирование простейшей экономической ситуации: задача о планировании оптимального выпуска видов изделий при заданных ценах и ограничениях на ресурсы.
- •2.Основные определения: понятие целевой функции, плана, оптимального плана.
- •3.Графический метод решения задачи линейного программирования. Область допустимых планов, градиент, линии постоянного уровня, угловые точки, оптимальный план
- •4.Классификация задач линейного программирования: Общая задача, основная и каноническая.
- •5.Симплексный метод решения канонической задачи. 1-ая симплексная таблица и расчет элементов индексной строки.
- •6.Алгоритм симплекс-метода.
- •7.Сформулируйте общую задачу линейного программирования и напишите ее математическую модель.
- •8.Дайте определение плана, невырожденного и вырожденного опорного плана, оптимального плана.
- •9.Дайте геометрическое истолкование задачи линейного программирования.
- •10.Как построить первоначальный опорный план задачи линейного программирования и проверить его на оптимальность?
- •11.Перечислите условия оптимальности опорного плана задачи линейного программирования на отыскание минимального и максимального значений целевой функции.
- •12. Как определяется вектор для включения в базис, если первоначальный план не является оптимальным? Как определить вектор, подлежащий исключению из базиса?
- •13. Какая переменная называется базисной? Какая переменная называется искусственной, как она вводится в систему ограничений и в целевую функцию?
- •14.Сформулируйте задачу использования ресурсов и напишите ее математическую модель.
- •15.Сформулируйте задачу составления рациона и напишите ее математическую модель.
- •16.Алгоритм симплекс-метода см.№6
- •17.Алгоритм решения м-задачи.
- •18.Разрешимость основной задачи линейного программирования в терминах вспомогательной задачи с искусственным базисом.
- •19.Математическая модель симметричной двойственной задачи.
- •20.Математическая модель несимметричной двойственной задачи.
- •21.Как по решению исходной (двойственной) задачи найти решение двойственной (исходной) задачи? Как проверить оптимальность полученных решений?
- •22.Алгоритм двойственного симплекс – метода.
- •23.Критерии оптимальности планов пары двойственных задач линейного программирования.
- •24.Сформулируйте транспортную задачу линейного программирования и напишите ее математическую модель
- •25.Методы построения опорного плана транспортной задачи и процедура его улучшения.
- •26.Решение транспортной задачи методом потенциалов. Критерий оптимальности ее опорного плана (критерий л.В.Канторовича).
- •27.Матричная игра двух сторон с нулевой суммой. Чистые, смешанные, оптимальные стратегии, цена игры.
- •29.Доминирование строк и столбцов платежной матрицы и решение игры после упрощения матрицы.
- •30. Сформулируйте задачу целочисленного программирования и напишите ее математическую модель.
- •31.Метод отсечение Гомори – нахождение целочисленного оптимального плана задачи линейного программирования, построение дополнительного ограничения (неравенства Гомори)
- •32.Алгоритм решения задачи дискретного программирования методом ветвей и границ на примере решения задачи коммивояжера.
- •Задача о кратчайшем пути на графе, алгоритм Форда (Дейкстры).
- •34.Задача о максимальном потоке в сети, алгоритм Форда – Фалкерсона
- •35. Сетевое планирование, нахождение критического пути в сети.
16.Алгоритм симплекс-метода см.№6
17.Алгоритм решения м-задачи.
В М – задаче искусственный базис вводится в целевую функцию с коэффициентом –М,если задача – max и +М , если задача min,где M много больше 0
При решении задачи симплекс методом, буква М записывается в строку цен.
Пример
18.Разрешимость основной задачи линейного программирования в терминах вспомогательной задачи с искусственным базисом.
Рассмотрим стандартную задачу min. Система ограничений имеет вид:
a11x1+a12x2+…a1nxn>=b1
a21x1+a22x2+…a2nxn>=b2
Ц елевая функция f=c1x1+c2x2+cnxn min
a11x1+a12x2+…a1nxn-xn+1=b1
xn+1- не является базисом из-за минуса.
Составим расширенное ур-е вводя искусственную переменную z1,
a11x1+a12x2+…a1nxn+xn+1+z1=b1
am1x1+am2x2+…amnxn+xn+m+zm=bm
Это расширенная каноническая задача имеющий искусственный базис (z1,z2,zm)
Если исходная ЗЛП не стандартная задача min, то базис мб смешанный (искусственных базис переменных будет меньше, чем ур-й)
19.Математическая модель симметричной двойственной задачи.
Парой симметричных двойственных задач называют две, тесно связанные между собой задачи ЛП, которые удобно записать в схематическом виде.(см. ниже). Задача ЛП, в которой целевая функция максимизируется, а все неравенства «типа≤» называется стандартной задачей максимизации, а если целевая функция минимизируется, а все неравенства «типа≥» - стандартной задачей минимизации. Пара симметрических двойственных задач состоит из стандартной задачи максимизации и максимизации, причем эти задачи обладают рядом особенностей, которые хорошо видны в схеме и позволяют сформулировать правила составления двойственных задач.
Задача 1 Задача 2
При условиях: При условиях:
0
0
0
0
0
Правила составления пары симметричных двойственных задач.
1.Одна из задач является стандартной задачей максимизации , а другая минимизации
2. Количество неизвестных в одной из задач равно количеству основных ограничений в другой задаче
3. Матрица коэффициентов при неизвестных в неравенствах одной задачи получается транспортированием матрицы коэффициентов другой задачи
4. Свободные члены неравенств одной задачи совпадают с коэффициентами целевой функции другой задачи.
Если решить одну из двойственных задач, то на основании теорем двойственности можно сделать вывод о существовании или отсутствии решения другой задачи. При этом возможны три случая решения для каждой задачи
Обе задачи имеют оптимальный план
В задаче 1 планы есть, но целевая функция не ограничена сверху на множестве планов, значит оптимального плана не существует
В задаче 2 вообще нет планов, а значит, нет и оптимального плана
3. И наоборот
Если же решена задача 2, то аналогичные выводы можно сделать для двойственной ей задачи 1.
При решении одной из двойственных задач симплекс—методом в тех же симплексных таблицах одновременно преобразовывается и другая задача. Если решенная задача имеет оптимальный план, который содержится в столбце свободных членов последней симплекс – таблице, то и двойственная задача имеет оптимальный план, и он содержится в индексной строке последней симплексной таблицы решенной задачи.