- •Дайте опр-я ф-и, а также сложной и обратной ф-й одной действительной переменной. Найдите обл опр и обл значений функции .
- •Сформулируйте св-ва четности, нечетности, периодичности, монотонности, ограниченности ф-и. Определить явл-ся ли след ф-я четной или неч.
- •Дайте определения числовой посл-ти и предела числовой посл-ти. Сфор-те теорему о единственности предела числовой посл-ти.
- •Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.
- •Дайте определение предела функции. Перечислите основные свойства пределов функций.
- •Дайте определения односторонних пределов функции.
- •Перечислите основные правила вычисления пределов функций.
- •Приведите первый (с доказательством) и второй замечательные пределы.
- •Дайте опр непрерывности ф-и в точке. Сформ-те условия непрерывности сложной ф-и. Что вы можете сказать о непрер-ти основных элем ф-й?
- •Перечислите основные локальные свойства непрерывных функций.
- •Сформ теорему о сущ-и корня уравнения для ф-и , непрерывной на отрезке. Докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .
- •Сформ теорему о существовании и непрерывности ф-и, обратной к строго монотонной непр ф-и. Приведите пр-р и обоснуйте его на основании теоремы.
- •Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке: об ограниченности функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений.
- •Дайте опр производной ф-и в точке. На основании опр-я найди производную ф-и .
- •Приведите правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, Докажите одно из них на выбор.
- •Приведите правила дифференцирования сложной и обратной функции. Найдите производную функции согласно сформулированному правилу.
- •Дайте определение производных высших порядков ф-и одного аргумента. Приведите примеры вычисления таких производных.
- •Сформулируйте с обоснованием ответ на вопрос: в чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?
- •Обоснуйте возможность использования дифференциала в приближенных вычислениях. Приведите пример.
- •Сфор-те теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .
- •Сформулируйте правило Лопиталя. Докажите первый и второй замечательные пределы с помощью правила Лопиталя.
- •Дайте определения возрастающей и убывающей функций. В чем состоит необходимое и достаточное условия локального экстремума функции.
- •Дайте определения выпуклых вниз и вверх функций одного аргумента. Приведите достаточные условия выпуклости функции. Приведите примеры.
- •В чем состоит необх и дост признаки точки перегиба графика функции. Приведите пример.
- •Дайте опр-я ф-и двух переем-ых, предела и непрерывности ф-и двух переем-х.
- •Дайте определения частных производных ф-и двух переменных, дифференцируемости ф-и нескольких переем-х и ее дифференциала. Приведите примеры вычисления производных и диф-ла ф-и двух пременных.
- •Дайте опр-я производной по напр-ю и градиента ф-и двух перем. ВчемСостоитОсновное св-о градиента ф-и.
- •Сформулируйте теорему о наибольшем и наименьшем значениях дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве. Приведите пример.
- •Дайте опр- частных производных высших порядков ф-и двух перем. Сформ теорему о равенстве смешанных производных и приведите в качестве ее иллюстрации пример.
- •Дайте опр экстремума функции двух переменных. В чем состоит необходимое и достаточное условия экстремума. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте опр-я условных максимума и минимума функции двух переменных. В чем состоит метод множителей Лагранжа для нахождения условных максимума и минимума функции двух переменных. Приведите пример.
- •Дайте опр однородной ф-и двух аргументов и сфор теорему Эйлера. Явл-я ли ф-я однородной, и если да, то какова степень одн-ти?
- •Дайте определение выпуклой функции двух аргументов и приведите критерий выпуклости. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте определение и перечислите основные свойства неопределенного интеграла, иллюстрируя их примерами.
- •Сформулируйте теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и правило интегрирования по частям. Докажите любое из этих двух утверждений.
- •Дайте определение и приведите пример первообразной. Сформулируйте теорему о существовании первообразной для непрерывной функции.
- •Напишите формулы вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Приведите в обоснование чертежи к каждой из формул и приведите примеры.
- •Дайте определения несобственных интегралов с бесконечными пределами. Приведите примеры вычисления таких интегралов.
- •Сформулируйте определения числового ряда и его суммы. В чем состоит достаточный признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
- •Сформулируйте определения и приведите признаки сходимости положительных и знакочередующихся рядов. Проиллюстрируйте это на примерах.
- •Дайте опр степ ряда и обл его сх-ти. Приведите фор-лу для выч-я радиуса сх-ти степ ряда.
Дайте определения возрастающей и убывающей функций. В чем состоит необходимое и достаточное условия локального экстремума функции.
Теорема (возрастание и убывание на отрезке):1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x) 0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Анал-но можно сделать вывод о том, что если ф-я f(x) убывает на отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в пром-ке (a, b), то f(x) убыв на отрезке [a, b].
Конечно, данное утверждение справедливо, если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).
Рассмотрим функцию f(x) на множестве М⊆D(f) . Число f(a) назовем наибольшим значением ф-и f на мн-ве М (абсолютным или глобальным максимумом) и обозначим f(a)=maxx∈Mf(x), если точка a∈М и f(x)≤f(a) при любыx x∈M .
Число f(b) назовем наим-им значением ф-и f на мн-ве М (абсолютным или глобальным мин-ом) и обозначим f(b)=minx∈Mf(x), если точка b∈М и f(x)≥f(b) при любыx x∈M . Если в качестве множества М рассмотреть некоторую окрестность точки a, то f(a) называют локальным максимумом функции f и обозначают maxU(a)f(x). Если в качестве множества М рассмотреть некоторую окрестность точки b, то f(b) называют локальным минимумом функции f и обозначают minU(b)f(x). Теорема 1: Если функция f во внутренней точке x0∈D имеет производную и производная, то f(x0) не есть локальный экстремум. Теорема (Ферма): Если функция f во внутренней точке x0∈D имеет локальный экстремум и дифференцируема в ней, то f′(x0)=0 (необходимое условие локального экстремума). Теорема 2 (дост усл лок экстремума): Пусть точка x0- критическая точка ф-и f и пусть ф-я f непрерывна в ней. Если ф-я f дифференцируема в некот выколотой окр-ти U0(x0) в точке x0 и ее производная при переxоде через точку x0меняет знак, то f(x0) есть лок экстремум ф-и, причем f(x0) будет лок max, если производная f ′ при переxоде ч\з точку x0 меняет свой знак с '+' на '-' и f(x0) - лок min, если f ′ при переxоде через точку x0меняет свой знак с '-' на '+'. Теорема 3 (дост усл лок экс): Пусть точка x0- стац точка ф-и f. Если f дифф-ма в некот окр-ти U(x0) точке x0, а в самой точке x0она дважды диф-ма и f′′(x0)=0 , то f(x0) - есть лок экс ф-и f, а именно f(x0)является лок max, если f′′(x0)<0и f(x0) - локальным min, если f′′(x0)>0.
Дайте определения выпуклых вниз и вверх функций одного аргумента. Приведите достаточные условия выпуклости функции. Приведите примеры.
Функция y=f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке х R, если для любых x1 x2 и x3 этого промежутка выполняется:
Пример: Функция у = -х2 выпукла вверх на промежутке , т.к.
у = -х2 , y = -2x, y = -2 0 выпукла вверх
у = х2 , y = 2x, y = 2 0 выпукла вниз
Т-ма 1 Ф-я y=f(x) вып вверх (вниз) на числ пром-ке X, если f(x) >0 (соотв-но <0) для всех х X.