- •Дайте опр-я ф-и, а также сложной и обратной ф-й одной действительной переменной. Найдите обл опр и обл значений функции .
- •Сформулируйте св-ва четности, нечетности, периодичности, монотонности, ограниченности ф-и. Определить явл-ся ли след ф-я четной или неч.
- •Дайте определения числовой посл-ти и предела числовой посл-ти. Сфор-те теорему о единственности предела числовой посл-ти.
- •Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.
- •Дайте определение предела функции. Перечислите основные свойства пределов функций.
- •Дайте определения односторонних пределов функции.
- •Перечислите основные правила вычисления пределов функций.
- •Приведите первый (с доказательством) и второй замечательные пределы.
- •Дайте опр непрерывности ф-и в точке. Сформ-те условия непрерывности сложной ф-и. Что вы можете сказать о непрер-ти основных элем ф-й?
- •Перечислите основные локальные свойства непрерывных функций.
- •Сформ теорему о сущ-и корня уравнения для ф-и , непрерывной на отрезке. Докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .
- •Сформ теорему о существовании и непрерывности ф-и, обратной к строго монотонной непр ф-и. Приведите пр-р и обоснуйте его на основании теоремы.
- •Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке: об ограниченности функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений.
- •Дайте опр производной ф-и в точке. На основании опр-я найди производную ф-и .
- •Приведите правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, Докажите одно из них на выбор.
- •Приведите правила дифференцирования сложной и обратной функции. Найдите производную функции согласно сформулированному правилу.
- •Дайте определение производных высших порядков ф-и одного аргумента. Приведите примеры вычисления таких производных.
- •Сформулируйте с обоснованием ответ на вопрос: в чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?
- •Обоснуйте возможность использования дифференциала в приближенных вычислениях. Приведите пример.
- •Сфор-те теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .
- •Сформулируйте правило Лопиталя. Докажите первый и второй замечательные пределы с помощью правила Лопиталя.
- •Дайте определения возрастающей и убывающей функций. В чем состоит необходимое и достаточное условия локального экстремума функции.
- •Дайте определения выпуклых вниз и вверх функций одного аргумента. Приведите достаточные условия выпуклости функции. Приведите примеры.
- •В чем состоит необх и дост признаки точки перегиба графика функции. Приведите пример.
- •Дайте опр-я ф-и двух переем-ых, предела и непрерывности ф-и двух переем-х.
- •Дайте определения частных производных ф-и двух переменных, дифференцируемости ф-и нескольких переем-х и ее дифференциала. Приведите примеры вычисления производных и диф-ла ф-и двух пременных.
- •Дайте опр-я производной по напр-ю и градиента ф-и двух перем. ВчемСостоитОсновное св-о градиента ф-и.
- •Сформулируйте теорему о наибольшем и наименьшем значениях дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве. Приведите пример.
- •Дайте опр- частных производных высших порядков ф-и двух перем. Сформ теорему о равенстве смешанных производных и приведите в качестве ее иллюстрации пример.
- •Дайте опр экстремума функции двух переменных. В чем состоит необходимое и достаточное условия экстремума. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте опр-я условных максимума и минимума функции двух переменных. В чем состоит метод множителей Лагранжа для нахождения условных максимума и минимума функции двух переменных. Приведите пример.
- •Дайте опр однородной ф-и двух аргументов и сфор теорему Эйлера. Явл-я ли ф-я однородной, и если да, то какова степень одн-ти?
- •Дайте определение выпуклой функции двух аргументов и приведите критерий выпуклости. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте определение и перечислите основные свойства неопределенного интеграла, иллюстрируя их примерами.
- •Сформулируйте теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и правило интегрирования по частям. Докажите любое из этих двух утверждений.
- •Дайте определение и приведите пример первообразной. Сформулируйте теорему о существовании первообразной для непрерывной функции.
- •Напишите формулы вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Приведите в обоснование чертежи к каждой из формул и приведите примеры.
- •Дайте определения несобственных интегралов с бесконечными пределами. Приведите примеры вычисления таких интегралов.
- •Сформулируйте определения числового ряда и его суммы. В чем состоит достаточный признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
- •Сформулируйте определения и приведите признаки сходимости положительных и знакочередующихся рядов. Проиллюстрируйте это на примерах.
- •Дайте опр степ ряда и обл его сх-ти. Приведите фор-лу для выч-я радиуса сх-ти степ ряда.
Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.
Правила: Пусть lim xn = а и lim уn = b. Тогда:
1. lim(xn+уn) = а + b (словами: "предел суммы равен сумме пределов");
2. lim(xn*уn) = а·b (словами: "предел произведения равен произведению пределов");
3. lim1/ уn = 1/b если все числа уn,а также и сам предел b отличны от нуля;
4. lim xn/ уn=a/b если все уn,а также b не равны нулю.
Примеры: 1) lim n→∞ ((1/n)*e1/n)= lim n→∞ (1/n) * lim n→∞ (e1/n)=0*1=0
2) lim n→∞ ((1/n)+e1/n)= lim n→∞ (1/n) + lim n→∞ (e1/n)=0+1=1
3) lim n→∞ (1/n2)= [1/∞]=0 (так как lim n→∞ (n2)= ∞).
4) limn→∞ ((n2-8)/(3n2+5n-4))= limn→∞ ((1-8/n2)/(3+5/n-4n2))=1/3
Опр.: e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Число e называют числом Эйлера. Приближенно . Число е определяется по-разному, один из способов: - второй замечательный предел.
Пример:
Дайте определение предела функции. Перечислите основные свойства пределов функций.
Предел ф-и — одно из основных понятий мат-го анализа. Ф-я f(x) имеет предел L в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0, зн-е f(x) близко к L. Предел – единственен!
Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).
Обозначение предела функции
Предел функции обозначается как
или через символ предела функции:
Пример: lim х→а (х+1)=а+1
Свойства пределов функции
1) Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2) Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
Расширенное свойство предела суммы:
Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:
4) Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
Расширенное свойство предела произведения
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
5) Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Примеры: 1) lim х→1 ((1/х)*e1/х)= lim х→∞ (1/х) * lim х→∞ (e1/х)=1*е=е
2) lim х→1 ((1/х)+e1/х)= lim х→1 (1/х) + lim х→1 (e1/х)= 1+е
3) lim х→1 (2e1/х)= 2lim х→1 (e1/х)=2е
4) lim х→1 23=23
5) lim х→1 (2+1/х)/(e1/х)= lim х→1 (2+1/х)/ lim х→1 (e1/х)=3/е
Дайте определения односторонних пределов функции.
Число а называется пределом функции f(x) в точке х0 справа, если для любой сходящейся к х0 последовательности {хn}, в которой все хn>х0, соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а. Это записывают так: Limx→ х0-0 f(x)=a.
Аналогично определяют предел функции f(x) в точке х0 cлева:Limx→ х0+0 f(x)=a
Пределами функции справа и слева называется Односторонними пределами.
Пример: Пусть и
Тогда
Поск одностор пределы ф-и f(x) в т 3 различны, то предела данной ф-и в 3 не существует.