- •Основные сведения о символьных вычислениях
- •1. Создание символьных переменных, выражений и матриц
- •Создание символьных выражений
- •2. Вычисление пределов и производных
- •3. Символьное интегрирование
- •Вычисление кратных интегралов
- •4. Разложение функций в ряды. Вычисление сумм рядов и произведений. Разложение функций в ряд Тейлора.
- •Вычисление сумм рядов и произведений.
- •5. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
- •6. Решение дифференциальных уравнений.
- •7. Преобразования Лапласа. Прямое преобразование Лапласа
- •Обратное преобразование Лапласа
- •Порядок выполнения работы
- •Задания на выполнение лабораторной работы
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Варианты
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы.
6. Решение дифференциальных уравнений.
Для решения ОДУ и систем ОДУ используется функция dsolve.
П р и м е р 1. Найти общее решение ОДУ
>> dsolve (‘Dy=1+y^2’)
ans =
tan(t+c1)
П р и м е р 2. Найти решение д.у. x” + 5x = 1, Н.У.: x(t=0)=0; x’(t=0)=0.
>> x = dsolve (‘(D2x) + 5*x=1’, ‘x(0)=0’, ‘dx(0)=0’)
x=
1/5-1/5*cos(5^(1/2)*t)
П р и м е р 3. Найти решение системы ОДУ
>> s = dsolve (‘Df=3*f + 4*g’, ‘Dg=-4*f + 3*g’)
s =
f: [1x1 sym]
g: [1x1 sym]
>> s*f
ans =
exp(3*t)*cos(4*t)*c1+sin(4*t)*c2
>> s*g
ans =-
exp(3*t)*(sin(4*t)*(1-cos(r*t)*c2)
7. Преобразования Лапласа. Прямое преобразование Лапласа
f(t) – ф.д.п., функция-оригинал. F(s)==L{f(t)} - ф.к.п., функция-изображение, .
Некоторые соответствия и теоремы:
f(t) = a; .
f(t) = sin(wt); .
.
.
Предельные теоремы:
Прямое преобразования Лапласа реализуется несколькими функциями Matlab, рассмотрим две из них: laplace(f,s), laplace (f, t, s).
П р и м е р 1.
>> laplace (3,s), laplace (a,t,s)
ans =
3/s
ans =
a/s
П р и м е р 2.
>> syms t s;
>> laplace (t*exp(- a*t), t, s)
ans= 1/(s+a)^2
Обратное преобразование Лапласа
Для получения д.у. (системы д.у.) во временной области используется обратное преобразование Лапласа
.
В Matlab обратное преобразование Лапласа находится с помощью функции
ilaplace (L(s), t),
где L(s) - прямое преобразование Лапласа.
П р и м е р 1. , найти функцию-оригинал f(t).
>> syms a b s t F;
>> F = (a+b*s)/s^2
>> ilaplace (F,t)
ans=
at+b
Порядок выполнения работы
Получить у преподавателя номер варианта заданий.
Выполнить задания предложенного варианта.
Скопировать задания, команды MatLab и результаты решения задач в текстовый файл.
Показать преподавателю содержание текстового файла. Устранить имеющиеся ошибки и вывести файл на печать.
Задания на выполнение лабораторной работы
Задание 1. Найти предел
Варианты
1. 2. 3. 4.
5. (1+3tg2x)ctg2x 6. 7. 8.
9. (tgx)tg2x 10. 11. 12.
13. (sinx)tgx 14. 15.
Задание 2. Найти производные
Найти первые и вторые частные производные функции двух переменных f(x,y). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y). Вычислить градиент функции f(x,y) в точке (1;2).
Варианты
1. f(x,y) = arctg(x+y) 2. f(x,y) = arcsin(lnxy) 3. f(x,y) = e-xlny
4. f(x,y) = cos(e-xlny) 5. f(x,y) = ln(lnxy) 6. f(x,y) = sinxcosy
7. f(x,y) = arcctg 8. f(x,y) = arccos(sin(x-y)) 9. f(x,y) = elnxy
10. f(x,y) = arccos 11. f(x,y) = arcctg(ex-ey) 12. f(x,y) = xln(x+y)
13. f(x,y) = ln 14. f(x,y) = arcsin(ex+y) 15. f(x,y) = ycos(xy)
Задание 3. Найти неопределенный интеграл
Найти неопределенный интеграл f(x)dx. Для отображения результата в компактном виде, близком к обычному математическому, воспользоваться функцией pretty .