![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Погрешность (задачи, метода, округлений). Абсолютная и относительная погрешность. Понятие устойчивости, корректности, сходимости.
- •2. Решение линейных систем. Норма (матрицы, вектора) и понятие обусловленности. Прямые и итерационные методы решения.
- •3. Решение нелинейных уравнений. Методы деления отрезка пополам, хорд, касательных, простой итерации.
- •4. Решение нелинейных систем. Методы простой итерации и Ньютона
- •5. Аппроксимация функций. Линейная и квадратичная интерполяции.
- •6. Многочлен Лагранжа
- •7.Эмпирические формулы.
- •8. Численное дифференцирование функций одной и нескольких переменных.
- •9.Численное интегрирование.
8. Численное дифференцирование функций одной и нескольких переменных.
где
При числ. Диф. Б/м величину
заменяют наконечное число. Для вычисления
значения производной получают приближенное
равенство:
Это поз опроксимиров производной с
помощью отношения получ разность. Пусть
ф-я задана табл
X0 |
X1 |
X2 |
… |
Xn |
Y0 |
Y1 |
Y2 |
… |
yn |
Пусть
шаг(разность м-ду 2-мя соседними значениями)
постоянны.
в зависимости от способа вычисления
полученных разностей получ 3 ф-лы для
вычисл производной в данной точке
;
левые разности
;
;
правые разности
;
;
Для старших произв:
Рассмотрим ф-ю
переменных:
где
(i=0,1…L)
(j=0,1…J) Используя понятие частной производной получим:
;
Для численного диф ФНП можно использ разложена в ряд Тейлора.
В
ычтем
одну из другой и получим:
Записываем разложение в ряд Тейлора при разных и ∆y можно вывести ф-лы числ. дифференцирования:
9.Численное интегрирование.
Пусть
на отрезке (а;b)
задана ф-я с помощью точек а=x0<x1<…<xn=в.
Разобьем отрезок (а;в) на каждом из них
выберем произвольную точку
и составим интегральную сумму
.
П
редел
этой суммы есть опред интерпол
.
Метод
прямоугольника и трапеции. трапеции:
используют лин интерполяцию, т.е. график
ф-и y=f(x)представ
в виде ломаной, соед. Точки(xi;yi)
В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей трапеций:
Метод Симсона:
Разобьем
(а;в) на четное число n
равных отрезков (x0;x2),
(x2;x4),(xi-1;xi+1)…(xn-2;xn).
На каждом отрезке подинтегр ф-ю f(x)
замен интерполяц многочленом 2 степени.
В
качестве
можно
принять интерполяцию многочлен Лагранжа
2й степени проход через точки.
Элементарную
площадь Si
м.б. вычислена с помощью опред интеграла.
Суммируя получ выраж для Si
получим
.
Ф-ла
Симсона:
Метод
Монте-Карло:
x-одномерно
распред случ величина на (а;в). Плотность
ее распределения задаеться соотношением:
тогда матожидание:
пусть
на (а;в) задана непрерывная ф-я f(x),
тогда если x-случайная
величина, то и f(x)-случайная
велочина причем если x
равномерно распределять на (а;в) то и
f(x)
тоже равномерно распределена на (а;в)
т.е. матожидание f(x)
будет равно:
10.
Рассмотрим
дифур
с
начальным условием
.
Если f(x;y)
удовлетворяют всем условиям теорем о
существовании и единстве задачи Коши,
то существует единственное решение,
причем оно является аналитическим в т.
X0
и
следовательно м.б. представлено в виде
ряда Тейлора:
p.
Первый член ряда опред из начальных
условий
.
Следующий член находится на основании
дифура
Остальные
числа ряда находим шаг за шагом путем
дифференцирования дифура (*) используют
правила дифф неявно заданной ф-ии:
Метод
последовательных приближений: Пустьдано
диф уравнение
с
конечным условием
Будем искать решение
для
.
Интегрирую правую и левую часть можно
по отразить (x0;x)
получим
. Для решения этого уравнения примем
метод последовательности приближений.
Заменяя неизвестную ф-ю y
на y0
получим первое приближение
. Даже подставив вместо y
найденное y1
получим второе приближение
и
т.д.
.
Геометрическая послед приближений
представляет собой кривые, проход через
общую точку (x0;y0).
11. Методы Эйлера и Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера:
Пусть дано диФУР y'=f(x;y) и нач. усл. y(x0)=y0. Выбрав малый шаг h xi=x0+ih. y'=(y2-y1)/h (y1-y0)/h=f(x0;y0) y1=y0+hf(x0;y0) y2=y1+hf(x1;y1) … yn=yn-1+hf(xn-1;yn-1) Т.о. получим ломаную Эйлера, которая приближает искомое решение y(x). Первая модификация: xi+1/2=xi+h/2; yi+1/2=yi+h/2; fi+1/2=f(x i+1/2;y i+1/2) y i+1/2=yi+hf i+1/2. Вторая модификация: yi+1=yi+hf(xi;yi); yi+1=yi+h(f(xi;yi)+fi+1)/2.
Метод Рунге-Кутта:
Дано то же самое Выберем шаг h и введем обозначения: xi=x0+ih; yi=y(xi). Рассмотрим числа ai=hf(xi;yi); bi=hf(xi+h/2;yi+h/2); ci=hf(xi+h/2;yi+bi/2) di=hf(xi+h;yi+ci). Рекуррентная ф-ла для вычисления yi примет вид: yi+1=yi+(ai+2bi+2ci+di)/6
13.Понятие функционала и вариации его аргумента. Примеры. Расстояние между функциями и определение окрестности пространства Ck[a;b].
Пусть дано некоторое множество М ф-ий y(x). Если каждой ф-ии y(x)ϵМ по нек. закону поставлено в соответствие число J, то говорят, что на мн-ве М опред. Функционал J=J[y(x)]; М-обл. оперд. Ф. Пример: Пусть М=С1[a;b]-мн-во всех функций y(x) имеющих непр. y'(x) на [a;b]. Вариацией (превращением) δy аргумента y0(x)ϵM Ф. J=J[y(x)] наз. разность между двумя ф-ми y(x) и y0(x), где y(x)ϵM т.е. δy=y(x)- y0(x). Замечание: Если задано множество k раз непрерывно дифференцируемой на [a;b] ф-ции Ck[a;b], то (δy)'=y'(x)- y0'(x)= δy' … (δy)(k)=y(k)(x)- y0(k(x)= δy(k) Это означает, что производные от вариации ф-ции y0(x) равны вариации производных, т.е. если ф-ция y0(x) получит превращение, то ее первая производная получит превращение δy'=(δy)' … до (k). Говорят, что кривые y=y1(x) и y=y2(x) зад. на [a;b] близки между собой в смысле близости нулевого порядка, если мал |y1(x)- y2(x)| на [a;b]. Геометрически это означает, что кривые на [a;b] близки по ординатам между собой. Говорят, что кривые y=y1(x) и y=y2(x) зад. на [a;b] близки между собой в смысле близости первого порядка, если равны |y1(x)- y2(x)|= |y1'(x)- y2'(x)| на [a;b]. Кривые y=y1(x) и y=y2(x) зад. на [a;b] близки между собой в смысле близости k-ого порядка, если малы величины: |y1(x)- y2(x)|; |y1'(x)- y2'(x)| … |y1(k)(x)- y2(k)(x)|
Опр.
Расстояние 0-го порядка между кривыми
y=y1(x)
и y=y2(x)
зад. на [a;b]
наз. неотрицательно число ρ0=
ρ0(y1(x);y2(x))=
.
Опр. Расстоянием k-го
порядка между ф-ми y1(x)
и y2(x)
зад. на множ. Сk[a;b],
наз. наибольший из максимумов
.
Опр. Ɛ окрестностью k-го
порядка кривой y0(x)
и множ. Сk[a;b]
наз. совокупность всех кривых y(x)
из Сk[a;b]
расстояние k-го
порядка от которых y0(x)<
Ɛ. Зам. Ɛ ок-тью 0-го порядка кривой y0(x)
сост. из всех кривых y(x)
расположенных в полосе шириной 2Ɛ вокруг
кривой y0(x)
14. Непрерывность Ф. Приращение Ф. Линейность Ф.
Ф.
J[y(x)],
определенный в Ck[a;b],
наз. непрерывным на y0(x),
если для любого числа Ɛ>0, существует
ɳ>0, что ρk(y(x);y0(x))<
ɳ => |J[y(x)]-J[y0(x)]|<Ɛ,
где y(x)ϵCk[a;b].
Это опр. аналогично опр. непрерывности
ф-ии y=f(x).
Приращение Ф J[y(x)]
отвечает приращению δy
аргумента y0(x),
наз. вел. ∆J=J[y0(x)+
δy]-J[y0(x)].
Ф J[y(x)],
определенный в Ck[a;b],
наз. непрерывной в y0(x),
если
.
Тут должен быть прим.
Ф. L[Cy(x)], опр. в пространстве Ck[a;b] наз. линейным если он удовл. след. усл. : 1)L[Cy(x)]=CL[y(x)], где CϵR; 2)L[y1(x)+ y2(x)]=L[y1(x)]+L[y2(x)]. Вспомним опред. дифференцируемой ф-ии: Если приращение ф-ии в т. х0 ∆f=f(х0+∆x)-f(х0) мб. Представлено в виде ∆f=A(х0)∆x+β(х0;∆x)∆x, где A(х0) не зависит от ∆x, а β(х0;∆x)->0 при ∆x->0, то ф-я наз. дифференцируемой, а главная линейная часть приращения A(х0)∆x-дифференциал ф-ии и обознач. df. Разделив ∆f на ∆x и переходя к пределу при ∆x->0 получим A(х0)=f '(х0) и => df=f '(х0)∆x
15. Вариация функционала как главная линейная часть приращения и как производная по пар-ру.
Если
приращение Ф. в т. y0(x)ϵCk[a;b]
∆J=J[y0(x)+δy]-J[y0(x)]
можно представить в виде:
∆J=L[y0(x);δy]+β(y0(x);
δy)max|
δy
|, где L[y0(x);δy]-линейный
по отношению к δy
Ф, β(y0(x);
δy)->0
при max|
δy
|->0, то линейная по отношению к δy
часть приращения Ф наз. вариацией Ф и
обознач. δy.
Тут пример. Через параметр α можно
определить и вариацию Ф, но сначала
дадим опр. дифференциала ф-ии f(x)
через производную по параметру. Рассм.
Значение ф-ии f(x+
α∆x)
при фиксированных x
и ∆x
и измен. пра-м α. При α=1 получим приращенное
значение ф-ии f(x+
∆x);
При α=0 мы имеем f(x).
Нетрудно проверить, что производная по
парм. α от f(x+
α∆x)
при α=0 диф. f(x)
в т. х.
.
Аналогично для Ф нескольких переменных:
f(x1+α∆x1;x2+α∆x2…xn+α∆xn)=
и для Ф вида J[y(x)]
или более сложных, зависящих от неск.
неизв. ф-ий или от ФНП можно опред.
вариацию как производную от Ф J[y(x)+αδy]
по парам. α
при α->0,
т.е.
16.
Функционал
заданный ы линейном пространстве Сk[a;b]
достигает на прямой y=y0(x)
max(min)
если найдётся
окрестность точки
,
что для всех кривых
из
этой окр-ти
-max;
-min;Необходимое
условие экстремума Ф-ла: Если Ф-л
имеющий вариацию в некоторой окрестности
точки y=y0(x)
достигает на ней максимума или минимума,
то
.
Экстремум Ф-ла на всей области определения наз-ся абсолютным экстремумом.
Функции
для которых
будем
называть стационарными.
17.
Лемма:Если
для каждой непрерывной ф-ии
,
где f(x)-непрерывная
на отрезке [а;b]
функция, то f(x)=0
на [a;b]
Замечание1:Утверждение
Леммы и её док-во не применяется, если
на функцию
наложить след-е ограничения:
=
=0
и
имеет непрерывные производные до порядка
р.
Замечание2:функцию
можно выбирать например, так:
Очевидно, что ф-я удовлетворяет упомянутым выше условиям. Она непрерывна, имеет непрерывные производные до порядка 2n-1, обращается в нуль в точках a и b. И может быть б/м вместе со своими производными за счёт уменьшения множителя k.
Замечание3:Аналогично
можно док-ть, что ф-я F(x;y)
непрерывна в области D
плоскости xOy
и
Т.о. Лемма справедлива для n- кратных интегралов.
18.
Пусть
ф-я
имеет непрерывные частные производные
по всем своим аргументам до 2-го порядка
включительно, среди всех функций
,
удовлетворяющие граничным условиям.y(a)=A,
y(b)=B
(3,1) Найти ту функцию, которая доставляет
экстремум фенкционалу
(3,2)
Замечание:Простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании экстремума функционала (3,2) на множестве всех гладких кривых содержащих заданные точки P1(a;A); P2(b;B)
Теорема:Если
функционал (3,2) определенный на множестве
ф-ий
,
удовлетвор-их условиям (3,1) достигает
на кривой y0
(x)
экстремума, то ф-я y0
(x)
будет решением уравнения Эйлера.
(3,3)
На кривой y0(x) реализующий экстремум рассматриваемого функц-ла (3,2), явл решением дифф-ого уравнения (3,3) второго порядка.
Замечание1:только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализоваться экстремум функц-ла, однако, для того, чтобы установить, реализ-ся ли на них в действительности экстремум и притом мах или мин надо иметь достаточные условия экстремума.
Замечание2:краевая задача: ;y(a)=A, y(b)=B не всегда имеет решение. А если решение существует, то оно может быть не единственным.
Замечание3:во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям единственно, то это единственная экстремаль и будет решением, рассматриваемой задачи.
19.