![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Погрешность (задачи, метода, округлений). Абсолютная и относительная погрешность. Понятие устойчивости, корректности, сходимости.
- •2. Решение линейных систем. Норма (матрицы, вектора) и понятие обусловленности. Прямые и итерационные методы решения.
- •3. Решение нелинейных уравнений. Методы деления отрезка пополам, хорд, касательных, простой итерации.
- •4. Решение нелинейных систем. Методы простой итерации и Ньютона
- •5. Аппроксимация функций. Линейная и квадратичная интерполяции.
- •6. Многочлен Лагранжа
- •7.Эмпирические формулы.
- •8. Численное дифференцирование функций одной и нескольких переменных.
- •9.Численное интегрирование.
3. Решение нелинейных уравнений. Методы деления отрезка пополам, хорд, касательных, простой итерации.
Пусть требуется решить уравнение F(x) = 0, прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения, но большинство уравнений не могут быть решены прямым методом. Для их решения используют итерацион. Методы. Алгоритм нахождения корня ур-я с помощью итер. метода состоит из двух этапов:
Отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
Уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.
П
риближенное
значение корня может быть найдено
различным способами: из физических
соображений, из решения аналогичной
задачи, с помощью графических методов.
Если такие априорные оценки исходного
приближения найти не удаётся, то находят
2 близко приближенные точки a
и b,
в которых непрерывная функция F(x)
принимает значения разных знаков.
.
В этом случае м/ж точками a
и b
есть по крайней мере одна точка, в которой
F(x)=0.
В качестве нач. прибл-я
можно взять середину отрезка [a;b],
т.е
Метод деления отрезка пополам
После
n-й
итерации отрезок сокращается в
раз.
Итер. процесс продолжается до тех пор,
пока значении ф-и F(x)
после n-й
итерации не станет меньше по модулю
заданного числа Ԑ:
М
етод
хорд
Пусть
на отрезке
существует корень, т.е
Через
точки
и
проводим прямую, каноническое уравнение
которой имеет вид:
Находим точку пересечения с осью абсцисс, т.е (у=0)
Сравниваем знаки F(a), F(b), F(c0), выбираем интервал, знаки на концах которых разные [c0;b], затем проводится след. итерация
и
т.д. Итер. процесс продолжается до тех
пор, пока
или
М
етод
касательных
Его
отличие от предыдущего состоит в том,
что проводится касательная к графику
ф-и F(x).
Тогда С0
– некое начальное приближение. Строят
уравнение касательной
,
откуда находим след. приближение корни
С1,
как абсциссу точки пересечения касательной
с осью Х.
(y=0)
. Аналогично нах-ся след. приближение
.
Для окончания итер. процесса м.б.
использовано условие
Простая итерация
Если
удалось уравнение F(x)=0
переписать в виде x=f(x),
то выбрав начальное приближение С0
можно построить итерационный процесс
Сn+1
=
f(Cn).
Достаточным условием сходимости этого
метода явл. условие
4. Решение нелинейных систем. Методы простой итерации и Ньютона
П
усть
дана система нелинейных уравнений:
В отличии от системы линейных ур-й, не существуют прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Для решения систем нелин. ур-й используются итерац. методы:
М
етод простой итерации:
Е
сли
систему (1) удается переписать в виде
(2)
,
то алгоритм решения этой системы методом
простой итерации напоминает метод
Гаусса-Зейделя для линейных систем.
Пусть в результате пред. итерации
получены значения неизвестных
,
тогда выражения для неизвестных на
след. итерации имеет вид (3)
Критерий
остановки на (k+1)
итерации:
Метод Ньютона
Пусть
некое приближение неизв. системы (1)
.
Задача ставится так: на каждой итерации улучшить решение в виде (4):
Отыскав
поправки
,
для этого разложим левые части ур-й
(4) (1)
как ф-и нескольких переменных в ряд
Тейлора в окрестности точки
,
ограничиваясь лишь первыми линейными
членами относительно приращений:
Поскольку левые части системы уравнений (1) равны 0, то и правые части части системы (5) должны быть равны 0. Пусть А = , получим:
Это и есть система уже линейных уравнений относительно неизвестных . Для существования единственного решения этой системы необходимо, чтобы якобиан был отличен от 0 для каждой итерации