- •2. Шары і сферы метр. Прасторы. Абмежаваныя мн-вы.
- •3.Індуцыраваная метрыка . Падпрастора метрычнай прасторы
- •5. Паняцце тапалагічнай прасторы
- •6. Замкнутыя мноствы у тапалагічнай прасторы.
- •7.Індуцыраваная тапалогія . Падпрастора тапалагічнай прасторы
- •8. Пункты дакранання і вонкавыя пункты мноства.
- •11*. Замыканне мн-ва і замкнутае мн-ва. Унутраннасць мн-ва і адкрытае мн-ва.
- •13. Непарыўныя адлюстраванні
- •14. Гамеаморфныя адлюстраванні.
- •16.Тапалагічныя уласцівасці і інварыянты.Паняцце аб прадмеце тапалогіі.
- •18.База тапалогіі.
- •20 Аксіемы аддзельнасці
- •22*. Ліміт паслядоунасці элементаў тп.
- •26 Уласцівасці звязных прастораў і мностваў.
- •30. Звязнасць і лінейная звязнасць.
- •31 И 32.Кампактныя пр-ры і мн-вы.
- •33*.Кампактнасць і замкнутасць.
- •35.Кампактныя мн-вы у эўклідавых пр-рах.
- •36.Уласцівасці камп. Пр-раў і мн-ваў.
- •37*. Прамы здабытак прастораў.
- •39. Тапалагiчныя ўласцiвасцi здабыткаў прастораў
- •40.Фактар-тапалогія, спароджанная дачыненнем эквівалентнасці.
- •41*Фактар-прасторы квадрата
13. Непарыўныя адлюстраванні
Няхай (x,τx), (y,τy) – тапалагічныя прасторы. Адлюстраванне f: (x,τx)→ (y,τy) назыв непарыўным, калі правобраз f-1(B) пры гэтым адлюстр адвольнага адкрытага у пр-ры (y,τy) мноства B(BЄ τx) есць адкрыт у пр-ры (x,τx).
Тэарэма(крытэр непарыўнага адлюстравання): Адлюстр f: (x,τx)→ (y,τy) з’яўляецца непар тады і толькі тады, калі правобраз f-1(D) адвольн замкнутага у пр-ры (y,τy) мноства D есць замкнут у пр-ры (x,τx) мноства.
Лема: Калі D С Y, f-1(D)= f-1(Y)\ f-1(Y\D). На самай справе f-1(Y)= f-1(DU(Y\D))= f-1(D)U f-1(Y\D) улічваючы што f-1(D) Λ f-1(Y\D)= пустому множеству, маем саму лему.
Доказ. Неабх) Няхай f: (x,τx)→ (y,τy) непарыўнае адлюстр DЄ τy, тады f-1(D)= f-1(Y)\ f-1(Y\D)Єφx.
Достат) f-1(D) Єφx, для адв Dєφy, f-1(B)={xЄX|f(x)ЄB}, f-1(B)= f-1(Y)\ f-1(Y\B) Є τx => fЄC(x,y).
Заўвага 1. Не трэба лічыць, што пры непарыўных адл. Вобразы адкрытых і замкнутых мн-аў есць адпаведна адкрытыя і замкнутыя мн-вы.
Контпрыклад. f: R1→R1, f(x)=1/(1+x2). f(R1)=(0,1], R1ЄτR1, R1ЄφR1
Заўвага 2. Аналіз азначэнняў паказвае, што паняцце непарыўнага адлюстр не есць ?трэціка? мн-ва ў тым сэнсе, што f:X→Y можа быць непарыўным і не непарыўным у залежнасці ад таго, якія тапалогіі уведзены на мн-ве X і Y.
Азначэнне: Адл. f: (x,τx)→ (y,τy) наз непарыўным у п. xЄX, калі для адвольнага ω(f(x)) пункта f(x)ЄY існуе ω’(x) пункта x: f(ω’(x))C(ωf(x)).
Заўвага 3. Калі X=R1, Y=R1, ω(f(x))=(f(x)-ε,f(x)+ε), ω’(x)=(x-δ,x+δ) есць азнач непарыўнай у п. x лікавай ф-ай f на мове “ε,δ”
Тэарэма. Адл f: (x,τx)→ (y,τy) з’яўл непарыўным т. і т.т., калі яно непарыўнае ў адвольн пункце x, xЄX.
Сцверджанне. Кампазіцыя непар адл. f:X→Y і g:Y→Z, гэта значыць gf:X→Z, якое дзейнічае па формуле (gf)(x)=g(f(x)) з’яўляецца непарыўн., дзе x=(x,τx), y=(y,τy), z=(z,τz)
Прыклады. 1. Тоеснае адлюстраванне Х на Х, відавочна непарыўнае.
2. кожнае адл-не дыстрыб. пр-ры (x,τ*) у адвольн пр-ру (y,τy) есць непарыўнае.
14. Гамеаморфныя адлюстраванні.
Адл-не f: (x,τx)→ (y,τy) наз гомеаморфным, калі выконваюцца адначасова 3 умовы:
1. f- біекцыя.
2. f- непарыўнае адл-не.
3. f-1- непарыўнае адл-не.
Заўвага: Умова 3 істотная калі выконв 1 і 2, але не выкон 3.
Н-д: f:[0;2π)→R2, f(t)=(cost,sint) – біекцыя, непарыўн але адв яму адл-не мае разрыў у пункце (1,0)
Калі абазваць клас усіх біекцыяў праз B(X,Y), клас усіх гомеамарф праз H(X,Y), тады відавочна H(X,Y)CC(X,Y), H(X,Y)ЄB(X,Y).
Прыклад 1. Тоеснае адл-не e:X→X, e(X)=X – відавочна есць гомеамарфізм
Прыклад 2. Пастаяннае адл-не с:X→Y, c(X)=y0=const не есць гомеамарфізм, таму што парушаецца біекцыя.
Адл-не f: Xy→Y наз укладаннем X у Y, калі яно прыведзена г.зн. адл-не fα:X→f(X) – есць гомеамарфізм.
Сцверджанне 1. Непар адл f:(a,b)→R1, f=f(x) з’яўляецца укладаннем т. і т.т., калі f накладна манатонная функцыя.
Адл-не f: X→Y – наз пагружэннем X у Y, калі яно з’яўляецца укладаннем, г.зн. калі усякі пункт xЄX мае наваколле ω(х) такое, што адл-не f| ω(х) – есць укладаннем ω(х) у Y.
Сцверджанне 2. Калі f – гомеамарфізм, тады f-1 – таксама гомеамарфізм.
Сцверджанне 3. Кампазіцыя гомеамарфізмаў есць гомеамарфізм.
Сцверджанне 4. Вобраз адкрыт мн-ва А пры гамеаморфным адл-ні есць адкрыт мн-ва. Вобраз замкнут мн-ва А пры гамеаморфным адл-ні есць замкн мн-ва.
Заўвага. Гамеаморфнае адл-ні з’яўляюцца адначасова адкрытымі і замкнутымі.
Заўвага. Сцв 4 азначае, што гамеамарфізм f: (x,τx)→ (y,τy) устанаўлівае біекцыю паміж адкрыт у Х мн-мі і адкр у Y мн-мі.
15. Гамеаморфныя прасторы.
Тапалагічн пр-ры Х, У наз гамеаморфн., калі існуе гамеамарфізм f: X→Y. Гамеаморфн. пр-ры наз таксама тапалагічна-эквівалентнымі.
Заўвага. Наяўнае прадстаўленне аб гамеаморфных пераўтварэннях дае ўзаемнаадназначн і узаемнанепарыўн дэфармацыю гумавых рэчаў, у ходзе якой дапускаецца іх расцягванне, сціскванне, раскручванне,перасячэнне…
Тэарэма. Бінарнае дачыненне гамеамарф есць дачыненне эквівалентнасці на мн-ве М усіх тапалаг пр-раў.
Доказ.
1. X~X.
2. X~Y => Y~X.
3.X~Y,Y~Z =>X~Z.