38. Пространственная система сил. Момент силы относительно оси.

Вычисление главного вектора и главного момента системы сил.

Равновесие произвольной пространственной системы сил.

Векторы M₀, R обычно определяют аналитически. Для этого через центр О проведем оси прямоугольных координат и найдем проекции этих векторов на оси.

Проецируя векторное равенство (13.3) на оси координат, найдем проекции главного вектора R:

.

Модуль главного вектора ,

а направление – с помощью направляющих косинусов:

.

Проецируя векторное равенство (13.4) на оси координат, учитывая при этом, что проекция векторного момента силы на ось равна моменту силы относительно этой оси, получим:

где главные моменты системы относительно координатных осей.

Модуль главного момента относительно центра О, начала координат, определится по формуле:

,

а направление – с помощью направляющих косинусов:

.

Для плоской системы сил, расположенной в плоскости xOy получаем:

,

Рассмотрим проекции вектора на разные оси.

или , (22)

или . (23)

Теорема Вариньона для моментов силы относительно оси. Согласно формулам (36) получим

. (24)

1. Равновесие произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил

R = 0, M₀ = 0

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

,

.

Так как при равновесии модули этих векторов должны равняться 0, то отсюда вытекает шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:

Выберем оси координат так, чтобы ось Оz была параллельна линиям действия Ξсил (рис.1.65)

Так как проекции сил на оси x и y, а также моменты сил относительно оси z равны нулю, то в формулах (1.64) уравнения 1, 2, 6 обращаются в тождества 0Ξ 0 и вместо шести уравнений равновесия получаем три уравнения:

39.Центр тяжести. Центр параллельных сил. Силовое поле. Центр тяжести

твердого тела.

Центр параллельных сил

Пусть на твердое тело в точках А и В действуют 2 параллельные силы F₁ и F₂, направленные в одну сторону (рис.19).

Э ти 2 силы, как известно, имеют равнодействующую силу, направленную в ту же сторону и по величине равную их сумме, т.е. R^*=F₁+F₂.

Получим силы F₁^' и F₂^'. Равнодействующая сила этих повернутых сил, очевидно, пройдет через точку С, а величина ее R^*'=F₁^'+F₂^'=F₁+F₂. Эта равнодействующая R^*' параллельна силам F₁^' и F₂^'. т.е. равнодействующая R^*' поворачивается на тот же угол вокруг точки С.

На линии действия равнодействующей силы, таким образом, имеется одна определенная точка, вокруг которой поворачивается равнодействующей сила при повороте всех сил вокруг их точек приложения на одинаковый угол. Эту точку называют центром системы параллельных сил.

Пусть на твердое тело действует система параллельных сил (F₁, F₂,...F_n), точки приложения сил A₁, A₂,...A_n, радиусы-векторы этих точек обозначим r₁, r₂,...r_n, С - центр этой системы параллельных сил, r_C - радиус-вектор точки С (рис. 20).

Тогда F₁ = F₁e, F₂ = F₂e,...F_n = F_ne, и R^* = eF_K, где F₁, F₂,...F_n - алгебраические значения сил.

По теореме Вариньона имеем: M₀(R^*) = M₀(F_K) или r_C x R^* = (r_K x F_K).

В последнем равенстве заменим векторы сил их выражениями через единичный орт e, тогда: r_C x eF_K = (r_K x eF_K), или (F_Kr_K) x e = r_C F_K x e, откуда

F_Kr_K= r_C F_K),

а (*)

Формулы для координат центра системы параллельных сил:

, , .

Силовое поле. Центр тяжести твердого тела

Область, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует сила, зависящая от положения (координат) этой точки, называется силовым полем.

Равнодействующую сил тяжести , ,…, , действующих на частицы данного тела, обозначим (рис. 20). Модуль этой силы называется весом тела и определяется равенством

Точка С является центром параллельных сил тяжести . Эта точка и называется центром тяжести тела.. Координаты центра тяжести

, как центра параллельных сил, определяются формулами

, , , (29) где , , – координаты точек приложения сил тяжести , действующих на частицы тела.