28. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

В пределах малых перемещений для стержня, шарнирно закрепленного по концам, изгиб при потере устойчивости происходит по полуволне синусоиды, и критическая сила равна P_кр= π²EJ/l² .

Если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом — свободен, то упругую линию стержня путем зер­кального отображения относительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня. Оче­видно, критическая сила для защемленного одним концом стержня длины l равна будет критической силе шарнирно закрепленного стержня, имеющего длину 2l. → P_кр= π²EJ /(2l)² .

Шарнирно закрепленный стержень, имеющий

имеющий посредине опору, при потере устойчивости изогнется по двум полуволнам. Следовательно, каждая его половина теряет устойчивость как шарнирно опертый стержень, имею­щий длину l/2. Поэтому

P_кр= π²EJ/(l/2)² .Обобщая полученные формулы, можно написать общее выражение критической силы для сжатого стержня в виде

Pкр= π2EJ/(μl)2 , где μ – так называемый коэффициент приведения длины. Это — число, показывающее, во сколько р аз следует увеличить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления. На рис. показано несколько видов закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента приведения длины μ. Во всех случаях, кроме последнего, значение μ определяется путем простого сопоставления упругой линии изогнутого стерж­ня с длиной полуволны синусоиды при шар­нирном закреплении. Последний случай из показанных на рис. 9.7 нужно рассмотреть особо. 3десь на упругой линии стержня имеются две точки, в которых кривизна равна нулю; точка А и точка В (рис. 9.8). В отличие от других случаев эти точки не находятся на прямой, параллельной линии действия силы Р. Следовательно, здесь возникает поперечная сила R, которая и рассмотренных ранее случаях закреп­ления отсутствовала. Составляя дифференциальное уравнение упругой линии изогнутого стержня ЕJу"= – Py+R(l–z) или же у"+k2y=R(l–z)/( ЕJ), откуда y=C₁sinkz+C₂coskz+R(l–z)/( EJk²). Определяя постоянные с учетом граничных условий и решая трансцендентное уравнение tgkl=kl относительно kl

. . Таким образом, μ=0,7.

Обобщенная сила, превышение которой приводит к переходу от устойчивого равновесия к неустойчивому, называется критической си­лой. Критическая сила зависит от коэффициента приведения длины μ, значение которого определяется путем простого сопоставления упругой линии изогнутого стерж­ня с длиной полуволны синусоиды при шар­нирном закреплении.

29. Пределы применимости формулы эйлера. Формула ясинского

При выводе формулы Эйлера мы пользовались дифференциальным уравнением упругой линии, которое основано на законе Гука. Закон Гука справедлив до тех пор, пока напряжение не превосходит предела пропорциональности.

- наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня

- гибкость стержня →

Условие применимости формулы Эйлера, записанное относительно гибкости.

Когда неприменима формула Эйлера, пользуются эмпирической формулой Ясинского, полученной на основании опытов:

, где a и b – коэффициенты, зависящие от материала.