![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Министерство образования рф
- •§1.2. Матрицы и линейные операции над ними.
- •Глава XII. Числовые и функциональные ряды. § 12.1. Числовые ряды.
- •§ 12.2. Функциональные ряды.
- •Глава XIII. Аналитическая геометрия. § 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости.
- •§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •Глава XIV. Теория вероятностей. § 14.1. Случайные события.
- •§ 14.2. Случайные величины.
- •Глава XV. Математическая статистика.
Министерство образования рф
Костромской государственный технологический университет
Кафедра высшей математики
Краткий справочник
по математике для специальностей инженерно-технического профиля
Кострома
2002 г
Глава I. Элементы линейной алгебры. 3
§1.1. Определители. 3
§1.2. Матрицы и линейные операции над ними. 3
Глава II. Векторная алгебра. 4
§2.1 Основные понятия. 4
§2.2. Операции над векторами. 4
§ 2.3. Переход к новому базису. 4
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 4
§ 3.1. Представление комплексных чисел. 4
§ 3.2. Действия над комплексными числами 5
ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 5
ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. 6
ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА. 6
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. 6
§ 7.1. Преобразования графиков функций. 6
§ 7.2. Корень уравнения. 7
ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 7
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 8
ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 9
§ 10.1. Неопределенный интеграл. 9
§ 10.2. Определенный интеграл. 9
§ 10.3. Двойной интеграл. 10
ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 10
ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. 11
§ 12.1. Числовые ряды. 11
§ 12.2. Функциональные ряды. 12
ГЛАВА XIII. Аналитическая геометрия. 12
§ 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости. 12
§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве. 12
ГЛАВА XIV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 13
§ 14.1. Случайные события. 13
§ 14.2. Случайные величины. 13
ГЛАВА XV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. 14
Глава I. Элементы линейной алгебры.
§1.1. Определители.
Определение:Матрицей называется
таблица чисел, в которойm
строк иnстолбцов
,
где
– элементы матрицы,
– номер строки,
– номер столбца
Только для квадратных матриц
введено понятие определителя.
Теорема:Определитель матрицыили определительn-го
порядка – это число, равное сумме
произведений элементов какого-либо
столбца (строки) на их алгебраические
дополнения. Например для второй строки:
,
где
– алгебраическое дополнение к элементу
;
Определение: Миноромэлемента
называется определитель, получаемый
из данного после вычеркиванияi-ой
строки иj-го
столбца.
В частных случаях:
или схематический (метод треугольников):
§1.2. Матрицы и линейные операции над ними.
,
,
,
справедливо:
Глава II. Векторная алгебра.
§2.1 Основные понятия.
Если
,
где
;
;
– координаты вектора
,
,
,
– вектора базиса; томодульили
длина вектора
определяется по формуле:
Если вектора
и
коллинеарны, то
§2.2. Операции над векторами.
Пусть
,
.
Тогда
Скалярное произведениевекторов
и
:
В пространстве
последняя формула примет вид:
, где
,
.
§ 2.3. Переход к новому базису.
В некотором базисе даны вектора:
,
,
.
Требуется найти координаты вектора
в новом базисе, образованном векторами
и
,
т.е. решить векторное уравнение:
,
,
которое сводится к системе линейных уравнений:
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
§ 3.1. Представление комплексных чисел.
1. Алгебраическая форма комплексного числа:
,
,
–
мнимая единица,
– действительная часть комплексного
числа, обозначается
,
–
коэффициент при мнимой части комплексного
числа, обозначается
.
Каждому комплексному числу
соответствует единственная точка
плоскости
(обратное справедливо).
2. Тригонометрическая форма комплексного числа:
,
где
–модуль комплексногочисла
,
– аргумент комплексного числа
,
,
.
– главное значение аргумента комплексного
числа
;
.
Распределение знака
по четвертям:
3. Показательная форма комплексного числа:
§ 3.2. Действия над комплексными числами
Комплексное число
называется сопряженным к комплексному
числу
Степени мнимой единицы:
…
…
…
…
,
В частных случаях:
ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.
Если каждому элементу
множества
некоторым способом поставлен в
соответствие один элемент
множества
,
то говорят, что задано отображение
множества
в множество
.
Записывают:
или
иизображают с помощью диаграмм Венна:
Пример:
ГЛАВА V. ОПЕРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.
& – знак конъюнкции, логического умножения;
– знак дизъюнкции, логического сложения;
,
;
,
;
,
;
,
;
;
,
,
,
;
,
;
ГЛАВА VI. КОМБИНАТОРИКА.
Сочетания:
(порядок элементов внутри выборкиневажен)
Размещения:
(порядок элементов внутри выборки важен)
Перестановки:
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА.
§ 7.1. Преобразования графиков функций.
§ 7.2. Корень уравнения.
Если уравнение
имеет единственный корень при
,
то уравнение
так же имеет корень при
.
ГЛАВА VIII. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Правила вычисления пределов.
Если
и
,
то
;
;
,
при
;
,
.
Первый замечательный предел.
.
Следствия:,
,
,
Второй замечательный предел.
.
Основные неопределенности.
,
,
,
,
.
Основные эквивалентные бесконечно малые величины.
,
,
,
,
при
.
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Правила дифференцирования.
Если
,
– дифференцируемые функции,
то
Формулы дифференцирования:
,
,
,
Следствие:,
Формула Лапиталя.
Дифференциал функции.
Применение дифференциального
исчисления в исследовании функции
Если дифференцируемая функция
возрастает (убывает) на отрезке
, то
.
Если дважды дифференцируемая функция
выпукла (вогнута) на отрезке
, то
.
Замечание: 1. Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, полагая, что все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.
2. Градиент функцииопределяется по формуле:
ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
§ 10.1. Неопределенный интеграл.
Таблица интегралов.
Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:
,
,
,
Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:
,
т.е. дробь правильная
§ 10.2. Определенный интеграл.
§
10.3.Двойной
интеграл.
ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Уравнение, содержащее кроме неизвестной
функции
и её производные называется дифференциальным.
Например:– дифференциальное уравнение 1гопорядка.
– начальное условие.
Функция
является частным решением дифференциального
уравнения 1гопорядка, если
выполняется:
Простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения с разделяющимися переменными:
,
где
и
Эти уравнения решаются путем деления
на
и последующего интегрирования уравнения.
– дифференциальное уравнение 2гопорядка,
;
– начальные условия.
Частным случаем дифференциальных уравнений второго порядка являются линейные
неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:
Решение
уравнений ищется в виде:
,
где
– общее решение однородного уравнения,
соответствующего заданному,
– частное решение исходного уравнения.
строится в зависимости от корней
характеристического уравнения:
Если
,
то
При
,
При
,