![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
1Задание
Двойным интегралом от функции (x,y) , непрерывной в замкнутой области GR2 , называется
(x,y)dxdy, предел интегр-ой суммы
(xi,yi)·∆Si когда n→∞, т.о. ∃maxdi→0
(xi,yi)dSi
С помощью двойного интеграла объём тела V={(x,y,z):f(x,y)≤z≤0, (x,y)G} записывается в виде: V=
(x,y)dxdy
Если функция (x,y), ((x,y)G) – плотность распределения масс, то физический смысл интеграла
(x,y)dxdy есть масса плоской пластинки G.
Геометрический смысл интеграла
V есть объём области V
Интеграл
G равен площади области G.
Тройным интегралом от функции f(x,y,z), непрерывной в замкнутой области
, называется предел последовательности интегральных сумм
(xi,yi,zi)∆Vi
Если f(x,y) – неотрицательная интегрируемая функция в области G, то геометрический смысл
(x,y)dxdy есть объём цилиндрического тела с основанием G ,с образующими ∥ оси OZ и ограниченной сверху поверхностью z=(x,y)
Если функция (x,y,z), (x,y,z)V, - плотность распределения масс, то физический смысл интеграла
(x,y,z) есть масса неоднородного тела с плотностью (x,y,z) в т.М(x,y,z)
Масса пластинки GR2 с плотностью (x,y), (x,y)G равна
(x,y)dxdy
Площадь области GXOY равна
xdy
2 Задание
Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы на G, f(x,y)≤g(x,y) на G и
dG=A, а
dG=B, то 2 A B
По теореме о сведении двойного интеграла к повторному, если функция (x,y) интегрируема на G, где G={(x,y):φ(x)≤y≤ψ(x), a≤x≤b}, то
(x,y)dG равен
(x,y)dxdy=
(x,y)dy]dx
По свойству линейности, если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы на G, тогда для любых чисел A и B сумма A
dG+B
dG равна
Af+Bg)dG
По свойству аддитивности , если области G, G1 и G2 такие, что G1G, G2=G\
1, а функция f(x,y) интегрируема на G, то f интегрируема на G1 и G2 причём
dG равен
dG+
dG
По свойству линейности, если функции f(x,y,z) и g(x,y,z) – интегрируемы на V, тогда для любых чисел A и B интеграл
Af+Bg)dV равен A
dV+B
dV
По свойству монотонности тройного интеграла, если функция f(x,y,z) неотрицательна и интегрируема на G, то выполняется неравенство
(x,y,z)dxdydz≥0
По свойству монотонности двойного интеграла, если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы на G и f(x,y) ≤g(x,y) на G, то
(x,y)dxdy≤
(x,y)dxdy
По свойству аддитивности, если области G, G1 и G2 такие, что G1G, G2=G\
и функция(х,у) - интегрируема в G, то (x,y) интегрируема на G1 и G2, причем сумма
dG+
dG равна
dG
По свойству об оценке двойного интеграла, если f(x,y) интегрируема на G и m f M (m,M-const), то выполняется неравенство
dxdy≤
(x,y)dxdy≤
dxdy
По свойству двойного интеграла, если f(x,y) и |f(x,y)| интегрируемы на G, то для |
dG| и
f|dG выполняется неравенство |
dG|≤
f|dG