Если выразить токи через напряжения и сопротивления, то получим:

. (3.2)

Для упрощения записи, зависимость напряжений от времени t не указана, но она предполагается.

Подставляя значение U_g (знак минус учитывает изменение знака сигнала на выходе ОУ относительно входного сигнала на инверсном входе ОУ)

(3.3)

в выражение (3.1), получим:

. (3.4)

При большом коэффициенте К усиления ОУ (а он реально порядка величины 10⁵) ения ИП.ами, будет обеспечено постоянство коэфитисвязи - 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

и напряжение на выходе ИП

. (3.5)

Из (3.5) видно, что при большой величине коэффициента усиления К значение выходного напряжения и, следовательно, точность выполнения математических операций не зависит от параметров самого ОУ и определяется точностью и стабильностью сопротивлений R_i и R₀.

В зависимости от вида элементов во входной цепи и цепи обратной связи операционный усилитель выполняет различные математические операции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Масштабное преобразование. При n=1 остается одна входная цепь с сопротивлением R₁, входным напряжением U₁=U_вх и сопротивлением в цепи обратной связи Ro. Выходное напряжение согласно (3.5) равно:

(3.6)

Получился усилитель с коэффициентом усиления a=R₀/R₁, не зависящим (при принятой модели ОУ) от собственного коэффициента усиления ОУ и его изменения от влияющих факторов.

2. Суммирование. При n входах и наличии на входах активных сопротивлений Ri (Ro в цепи ОС) выходное напряжение будет равно

, (3.7)

т. е. операционный усилитель выполняет алгебраическое суммирование с умножением каждого слагаемого на постоянный коэффициент. В случае R₁=R₂=…=R_n=R выходной сигнал равен сумме входных, умноженных на один и тот же коэффициент усиления, равный R₀/R:

. (3.8)

Если подключить равные сопротивления, т.е. R = Ro выходной сигнал равен сумме входных (с противоположной полярностью)

. (3.9)

3. Дифференцирование. При одном входе (n=1) в преобразователь вместо сопротивления R₁ подключим конденсатор емкостью С, а в цепи ОС сохраним сопротивление Ro. Очевидно, что усилитель не будет преобразовывать (усиливать) постоянное напряжение – конденсатор служит разрывом для постоянного тока. Следовательно, речь может идти только о преобразовании переменного напряжения U_ВХ (t).

Для определения характера выходного сигнала преобразователя у нас имеется одно уравнение Кирхгофа (3.1) и условие равенства нулю напряжения в общей точке входной цепи и цепи ОС. Ток в цепи ОС, как и ранее, равен отношению U_ВЫХ(t)/R₀, а величина тока через конденсатор не определена. Вот этим и займемся.

Из физики известно, что величина емкости является коэффициентом пропорциональности между напряжением на обкладках конденсатора и зарядом на них q:

U=q/C. (3.10)

Поскольку в уравнение (3.1) входит ток, а не величина заряда, преобразуем (3.10) следующим образом. По определению, электрический ток есть количество зарядов, прошедших через поперечное сечение проводника в единицу времени или, для переменного тока, – производная от числа зарядов по времени: i=dq/dt .

С учетом сказанного, продифференцируем обе части выражения (3.10), приняв U=U_ВХ :

(3.11)

Теперь, в соответствии с законом Кирхгофа, можно записать, что входной ток равен току в цепи обратной связи или, с учетом (3.11)

.

Откуда

(3.12)

Оказалось, что преобразователь выполняет операцию дифференцирования входного сигнала с коэффициентом передачи a=R₀C.

Подобные преобразователи удобны, поскольку одновременно усиливают и дифференцируют входной сигнал. Например, на корпусе двигателя установлен измеритель скорости для исследования вибраций. Для оценки сил, действующих на крепление двигателя, необходимо знать ускорение (по второму закону Ньютона), вызванное вибрациями. Подключив к выходу датчика дифференцирующий преобразователь, сразу получим на выходе последнего интересующую величину ускорения. Если выбрать коэффициент передачи R₀C численно равной известной массе двигателя, то выходной сигнал преобразователя в каждый момент времени будет соответствовать значению силы, развиваемой вибрацией.

4. Интегрирование. При одном входе (n=1) и входном сопротивлении R₁, в цепь ОС установлен конденсатор емкостью С (вместо сопротивления R₀).

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, с учетом того, что теперь дифференцируется напряжение U_ВЫХ, получим

; , (3.13)

т.е. операционный усилитель выполняет операцию интегрирования входного напряжения.

3.1.2. Парирование аддитивной составляющей погрешности усилителя

При измерениях физических величин часто возникает необходимость усиления медленно меняющихся сигналов. В этом случае, как указывалось выше, усилители не содержат разделительных элементов (конденсаторов или трансформаторов) и они способны усиливать постоянные напряжения или токи.

К ак следствие, выходное напряжение в таком уси­лителе определяется не только входным сигналом, но и нестабильностью режимов каскадов по постоянному току. Если закоротить вход усилителя на землю и подключить к его выходу вольтметр, то обнаружится, что выходное напряжение отлично от нуля; это напряжение называют смещением нуля усилителя. Изменение условий работы усилителя (колебания окружающей температуры, напряжений питания и т.д.) приводят к изменениям величины смещения нуля, т.е. к его дрейфу. На выходе усили­теля изменение сигнала, вызванное дрейфом нуля, воспринимается как соответствующее изменение входного сигнала, что приводит к возникновению аддитивной погрешности измерительного усилителя. Поэтому при по­строении измерительного усилителя постоянного тока приходится заботиться не только о величине коэффициента усиления и его стабильности, но также и о снижении дрейфа нуля усилителя.

Для рассмотрения наиболее распространенного метода снижения дрейфа нуля (применение симметричных каскадов) недостаточна модель ОУ, принятая в п. 3.1.1. Необходимо рассмотреть принципиальную схему входного узла ОУ.

Рис. 3.3. Схема входного

каскада ОУ

Такой узел содержит пары усилительных элементов — тран­зисторов, соединенных таким образом, что суммарный дрейф нуля каскада равен разности дрейфов входящих в него усилительных элементов. В качестве примера на рис.3.3 показана схема параллельно-симметричного каскада, часто используемая в микросхемах ОУ.

Выходное напря­жение этого каскада (U_ВЫХ) снимается с коллекторов транзисторов Т1 и Т2 как разность напряжений в коллекторах транзисторов. При этом увеличение напряжения на входе 1 (U_вх1) приводит к росту тока через транзистор Т1. А поскольку суммарный эмиттерный ток через транзисторы Т1 и Т2 постоянен (постоянство тока обеспечивает транзистор Т3), то увеличение тока через Т1 приводит к уменьшению тока через Т2. Соответственно падения напряжений U_К1 и U_К2 в коллекторных цепях Т1 и Т2, равные произведениям токов на коллекторные сопротивления (4кОм) будут изменяться в противоположных направлениях. И разность напряжений, являющаяся выходным напряжением U_ВЫХ будет равна

U_ВЫХ= U_К1 – (- U_К2) = U_К1 + U_К2.

Если характеристики транзисторов Т1 и Т2 близки и одинаково реагируют на влияющие факторы, то, изменение коллекторных напряжений будет примерно одинаковы. Например, изменение температуры окружающей среды приведет к одинаковому изменению кол­лекторных напряжений транзисторов на U. Выходной сигнал узла станет равен:

U_ВЫХ = U_К1+ U – (- U_К2 + U) = U_К1+ U + U_К2 - U = U_К1+ U_К2.

В правую часть последнего выражения дрейф не входит; следовательно, путем усложнения схемы ОУ, его удалось подавить.

Температурный дрейф нуля симметричных каскадов усилителей, выполнен­ных по интегральной технологии, в силу не идеального совпадения параметров элементов, не удается подавить полностью, и он составляет величину порядка 5—20 мкВ/К.

Дальнейшее снижение дрейфа связано со значительным усложнением усилителей, а именно, введением в их состав модуляторов, усилителей переменного тока и демодуляторов. Такие усилители называются МДМ – усилители; подробно они будут рассмотрены в других курсах.

4. ВЕЩЕСТВА И ФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ

4.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

4.1.1. Объект рассмотрения

Во введении было дано определение физической величины как «некоторое свойство физических объектов, качественно общее для них, но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта». Это определение, являясь обобщенным понятием, не дает понимания конкретных свойств физических объектов, подлежащих измерению. С другой стороны, сами средства измерений и, в частности, измерительные преобразователи, являются физическими объектами. Как же обеспечивается взаимодействие одних физических объектов (чьи свойства подлежат измерению), с другими, являющимися средствами измерений?

Из п. 2.5 ясно, что с энергетической точки зрения, измерительное преобразование сводится к переводу энергии одного вида в энергию другого (например, механической в электрическую) путем использования известных физических явлений или эффектов. Поскольку физические объекты могут находиться в разных состояниях, то измерительные преобразования могут выполняться путем взаимодействий нескольких видов: вещества с веществом, поля с полем или поля с веществом.

Сначала дадим определение вещества и физического поля.

Под веществом понимаются физические объекты, обладающие массой в состоянии покоя. Под физическим полем понимается особое состояние пространства вокруг вещества, проявляющееся в создании силового воздействия на частицы другого вещества, помещенного в любую точку этого пространства.

Строго говоря, данные выше определения не совсем точны. Дело в том, что поля при взаимодействии с веществом (фотоэффект, комптоновское рассеяние) проявляют себя как частицы, а электроны при прохождении через кристаллы рассеиваются как волны поля. Поэтому более точная модель материи соответствует единству вещества и поля, или, в терминах физики, материя обладает корпускулярно-волновым дуализмом.

Для большей части задач технических измерений модель материи, при которой вещество и поле разделено, вполне приемлема. На нее и будем опираться.

4.2. Вещество

Любое вещество состоит на микроскопическом уровне из одних и тех же частиц – нейтронов, протонов и электронов, которые образуют атомы и молекулы. Но количество частиц в атомах и молекулах, их взаимное расположение и связи определяют различное макроскопическое состояние вещества – в виде газа, жидкости, твердого тела или плазмы.

4.2.1. Газ – состояние вещества, в котором его частицы (молекулы или атомы) не связаны силами взаимодействия и движутся свободно, заполняя весь представленный им объем. Данное определение соответствует модели идеального газа.

Молекулы в газе при давлении 10⁵Па (1ат) и температуре 273,16 К (0⁰С) расположены в среднем на расстоянии 1·10^-8м друг от друга, а силы межмолекулярного взаимодействия несущественны уже на расстояниях (0,5-1)·10^-9м. Это позволяет предполагать, что молекулы движутся хаотично и независимо друг от друга, соударяясь и разлетаясь как механические шары. При более низких давлениях расстояния между молекулами в газе еще больше возрастают и его свойства с высокой точностью можно описать моделью идеального газа.

При сделанных предположениях, кинетическая теория газов дает уравнение связи между средней кинетической энергией одной молекулы и температурой газа в виде

, (4.1)

где m - масса одной молекулы;

- средний квадрат скорости молекул;

k =1,38·10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана;

T – абсолютная температура.

Молекулы газа в своем хаотическом движении соударяются со стенками сосуда или мембраной датчика давления, передавая им часть своего импульса. В единицу времени на единицу площади стенки или мембраны передается импульс p, равный

(4.2)

где n-количество молекул в единице объема.

Выражая в (4.2) произведение массы молекулы на среднюю скорость из (4.1), получим значение импульса, макроскопически воспринимаемый как сила, действующая на единицу площади (т.е. давление):

P=nkT.

Удобно рассматривать количество газа, равное массе одного моля, поскольку в этом случае количество молекул постоянно для любого газа и равно числу Авогадро N=6,022·10²³моль^-1. Для этого случая последнее выражение переходит в уравнение Клапейрона:

PV=RT, (4.3)

в котором R=Nk=8,314Дж/(моль·К) – универсальная газовая постоянная;

V – объем газа приходящийся на 1 моль при давлении Р.

Для произвольной массы газа m уравнение (4.3) записывается в виде уравнения Менделеева – Клапейрона:

. (4.4)

где µ - масса одного моля газа.

Часто в расчетах используется плотность газа ρ, равная массе газа в единице объема:

. (4.5)

С ростом давления (выше 1 МПа) молекулы газа сближаются, их взаимодействие становится значительным и уравнение связи параметров газа существенно усложняется по сравнению с (4.3).

Если газ охлаждать, то его плотность растет и при определенной температуре происходит конденсация газа, т.е. его переход в жидкое состояние. Можно поступить по-другому: при постоянной температуре повышать давление до получения жидкой фазы. Однако для каждого газа есть критическая температура Т_КР, выше которой газ не переходит в жидкое состояние ни при каких давлениях. Минимальное давление, при котором газ еще переходит в жидкое состояние при критической температуре Т_КР, называется критическим давлением Р_КР. Газ с температурой ниже Т_КР называется паром.

В таблице 4.1 приведены параметры критической точки и объем v_КР одного килограмма газа в этой точке для ряда распространенных газов.

Таблица 4.1. Параметры критических точек газов

Вещество	Химическая формула	PКР, МПа	ТКР, К	vКР, м3/кг
Водяной пар	Н2О	22,115	647,3	0,003147
Азот	N2	3,400	126,20,	0,003194
Кислород	О2	5,076	154,75	0,00244
Водород	Н2	1,294	32,98	0,032
Аргон	Ar	4.8979	150.86	0.001867
Метан	СН4	4,641	190,65	0,,,617
Пропан	С3Н8	4,27	369,99	0,0044

4.2.2. Жидкость – агрегатное состояние вещества, промежуточное между твердым и газообразным. Как твердое тело, жидкость сохраняет свой объем, образует поверхность; как газ - принимает форму сосуда, в котором находится. Отличительная особенность жидкости – текучесть.

Качественно текучесть объясняется наличием в жидкости объединений молекул, в которых тепловые движения происходят упорядочено. Отдельные молекулы, за счет избыточной тепловой энергии, рвут связи в своем объединении и переходят в соседнее. Средняя частота таких скачков составляет 10¹¹-10¹² с^-1. При наличии внешней силы большая часть скачков молекул происходит по направлению силы, что внешне проявляется как текучесть.

Между слоями жидкости (или газа), текущих с различной скоростью проявляется сопротивление сдвигающим усилиям, некое подобие трения между твердыми телами. Эта сила сопротивления называется вязкостью.

В отличие от газов, молекулы жидкостей расположены настолько близко и так сильно взаимодействуют при изменении расстояния между ними, что при давлениях до сотен атмосфер (десятки МПа) можно считать их несжимаемыми. А изменение температуры (в пределах одного агрегатного состояния, т.е. без перехода в твердое или газообразное состояние) ведет к заметному изменению плотности. Относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на 1 К называется температурным коэффициентом расширения β и его значения находятся в диапазоне от 0,1·10^-3 до 2·10^-3. Значит, изменение температуры жидкости, например, на 50 К приведет к изменению ее объема на (0,5 – 10)% и игнорировать эти изменения при измерениях, конечно, нельзя.

4.2.3. Твердое тело - агрегатное состояние вещества, характеризующееся стабильностью формы. Атомы (или молекулы) твердых веществ удерживаются на среднем расстоянии друг от друга порядка 1·10^-10м, на котором уравновешиваются электростатические силы отталкивания и притяжения.

Частицы многих твердых тел образуют периодическую пространственную структуру – кристаллическую решетку. В узлах кристаллической решетки могут находиться атомы, молекулы или ионы, совершающие вращательные движения и малые колебания вокруг положений равновесия.

С точки зрения протекания электрического тока тела делятся на диэлектрики (удельное сопротивление 10¹² -10¹⁴ Ом·м), металлы (удельное сопротивление 10^-2-10^-4 Ом·м) и полупроводники, у которых сопротивление меньше, чем у диэлектриков, но которое, в отличие от металлов, понижается с ростом температуры. Чтобы понять в общих чертах свойства твердых тел, необходимо предварительно рассмотреть электрические поля, которые и определяют макроскопические свойства твердых тел.