16.4. Распределение ускорений в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки.

Так как ускорение точки М тела равно векторной производной от скорости этой точки по времени, то дифференцируя по времени равенство , получим:

Вектор , т.е. производная от вектора угловой скорости по времени, называется угловым ускорением и обозначается ε:

Так как вектор ω изменяется с течением времени не только оп модулю, но и направлению, то угловое ускорение не будет направлено по одной прямой с вектором ω, как это имеет место при вращении тела вокруг неподвижной оси. Производная от радиуса вектора точки М по времени равна скорости этой точки, т.е.:

Поэтому полученное выражение для ускорения примет вид:

Эта формула дает распределение ускорений в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки. Она показывает, что ускорение можно представить как сумму двух составляющих ускорений:

и

Ускорение , равное векторному произведению , направлено перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы и , притом в ту сторону, откуда поворот вектора (на угол меньший 180) до совмещения его с вектором виден происходящим в положительном направлении (против часовой стрелки рис.16.6)

Рис.16.6.

Модуль этого ускорения равен:

Если опустим из точки М перпендикуляр Мm’ на направление вектора и обозначим длину этого перпендикуляра через h’, то из прямоугольного треугольника ОМm’ получим:

Следовательно:

Аналогично, ускорение , равное векторному произведению , направлено по перпендикуляру Мm, опущенному из точки М на мгновенную ось вращения, от точки М к этой оси (рис.16.6). Поэтому ускорение по аналогии со случаем вращения тела вокруг неподвижной оси, называется центростремительным ускорением точки М. Поскольку ускорение направлено к оси вращения тела, его называют также осестремительным ускорением. Так как , то модуль ускорения равен:

Но так как , где h обозначает длину перпендикуляра Мm, опущенного из точки М на мгновенную ось вращения тела, то:

Модуль и направление вектора можно определить, если известны проекции этого вектора на неподвижные оси Охуz. Из равенства:

Следует, что проекции вектора углового ускорения на неподвижные координатные оси равны производным по времени от соответствующих проекций вектора угловой скорости на те же оси:

Выведем формулы для проекций ускорения точки М на неподвижные координатные оси. Для этого представим векторные произведения и в виде определителей:

Развертывая эти определители по элементам первой строки, получим:

Следовательно:

Из этой формулы разложения по неподвижным координатным осям следует, что искомые проекции , и равны соответственно коэффициентам при ортах , и , т.е.:

Подставляя в эти формулы значения проекций скоростей , и из п. 16.3 получим:

Аналогично можно получить формулы и для двух других проекций:

По этим формулам нетрудно вычислить проекции ускорения и затем определить модуль и направление этого ускорения.