16.2. Теорема Даламбера – Эйлера

Геометрическое представление движения тела вокруг неподвижной точки.

Положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку О, будет определено, если будут известны положения двух каких-нибудь его точек: А и В, не лежащих на одной прямой с точкой О. Зная положение трех точек тела О, А и В можно определить положение любой другой точки М этого твердого тела.

При движении твердого тела, имеющего неподвижную точку О, каждая точка этого тела перемещается по поверхности сферы, описанной из центра О радиусом, равным расстоянию до этой точки от точки О. Возьмем точки А и В так, чтобы расстояния от неподвижной точки О были равны (ОА=ОВ). Если описать из центра О неподвижную сферу радиусом равным ОА, то плоскость треугольника ОАВ пересечет эту сферу по окружности большого круга. Дуга АВ этого круга при движении будет перемещаться по поверхности этой неподвижной сферы (рис.16.1). При этом каждому положению дуги АВ на неподвижной сфере будет соответствовать единственное и вполне определенное положение данного тела в пространстве и обратно.

Рис.16.1.

Теорема: Всякое перемещение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, из одного положения в другое можно осуществить поворотом на некоторый угол вокруг некоторой оси, проходящей через эту неподвижную точку.

Доказательство: Пусть данное твердое тело, имеющее неподвижную точку О, переместилось из одного положения в другое. При этом точка А этого тела переместилась в положение А₁, а точка В, которая вначале находилась в положении А₁, заняла положение В₁ (рис.16.2). Очевидно, что все три точки лежат на поверхности сферы, описанной из центра О радиусом, равным ОА. Плоскость, проведенная через эти три точки, пересекает сферу по окружности, центр, которой обозначим через О₁. Прямая проходящая через точки О и О₁ перпендикулярна к плоскости этой окружности. Точку пересечения этой прямой со сферой обозначим через Р. Так как отрезки АА₁ и А₁В₁ представляют собой расстояние между теми же двумя точками А и В твердого тела переведенными в новое положение, то дуги окружности АА₁ и А₁В₁ равны между собой.

Рис.16.2.

Так как положение тела однозначно определяется положение точек А и В, то , для того чтобы перевести тело из первого положения во второе, ему нужно сообщить такое перемещение, при котором точка А должна занять положение А₁, а В положение В₁. Для этого достаточно повернуть тело на угол, равный углу АОА₁, вокруг оси ОР. Тогда треугольник АО₁В совместится с равным ему треугольником А₁О₁В₁, а дуга АА₁ совместится с равной ей дугой А₁В₁, следовательно, теорема доказана.

16.3. Распределение скоростей в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки. Мгновенная ось вращения тела

Пусть твердо тело, имеющее неподвижную точку О, в момент t занимает некоторое положение I. В момент t+Δt, это тело займет положение II, близкое к положению I. Пусть какая-нибудь точка этого тела переместится из положения М в положение М'. По теореме Даламбера – Эйлера, найдем ось ОР*, вокруг которой нужно повернуть тело на угол Δφ, чтобы перевести его из положения I в положении II (рис.16.3). В случае равномерного вращения тела вокруг оси ОР*, его угловая скорость будет равна:

Рис.16.3.

Величина ω* называется средней угловой скоростью тела за время Δt. Вектор средней угловой скорости направлен по оси ОР* в ту сторону, чтобы с конца этого вектора было видно направление вращения в направлении обратном движению часовой стрелки. Тогда вектор угловой скорости будет равен по модулю и направлен по оси ОР, которая представляет собой предельное положение оси ОР*.

Т.о. мы сводим истинное движение данного тела вокруг точки, к вращательному движению вокруг оси в течение малого промежутка времени Δt. При этом начальные и конечные положения тела в обоих движениях совпадают. Следовательно, средние скорости точки М в истинном движении и во вращательном движении вокруг оси ОР* соответственно через , то

Обозначим радиус вектор точки М, проведенный из неподвижной точки О, через r. Линейная скорость точки М во вращательном движении вокруг оси ОР* в момент t равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус вектор этой точки: .

С другой стороны, скорость в момент t является пределом средней скорости при . Поэтому можно написать: , где обозначает бесконечно малую величину, стремящуюся к нулю вместе с Δt. Следовательно, истинная средняя скорость будет равна .

Переходя к пределу при , с учетом того, что и , где - истинная скорость точки М в момент t, получим:

Эта формула позволяет найти скорость любой точки тела в данный момент. Она дает распределение скоростей в данный момент в твердом теле, движущемся вокруг неподвижной точки. Это распределение скоростей такое же, как при вращении тела вокруг оси ОР с угловой скоростью ω. Вектор ω называется мгновенной угловой скоростью, а прямая ОР, по которой направлен этот вектор и скорости точек которой в данный момент равны нулю, называется мгновенной осью вращения.

Т.о. при движении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, в каждый момент существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту неподвижную точку.

Движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно представить себе как непрерывный ряд последовательных вращений вокруг мгновенных осей, проходящих через эту неподвижную точку. При этом положение мгновенной оси вращения тела не остается неизменным. В различные моменты времени эта ось занимает различные положения, как в пространстве, так и в самом движущемся теле.

Геометрическое место мгновенных осей вращения в пространстве называется неподвижным аксоидом. Так как все мгновенные оси проходят через неподвижную точку тела, то неподвижный аксоид представляет собой конус с вершиной в этой неподвижной точке.

Геометрическое место мгновенных осей вращения в самом движущемся теле называется подвижным аксоидом. Подвижный аксоид также представляет собой конус с вершиной в неподвижной точке тела. Этот конус, связанный с данным телом, перемещается вместе с ним. Подвижный и неподвижный аксоиды в каждый данный момент касаются вдоль общей образующей ОР, которая является в этот момент мгновенной осью вращения тела (рис.16.4).

Рис.16.4.

При движении тела подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному. Качение происходит без скольжения, потому что скорости точек, лежащих на мгновенной оси вращения ОР, в данный момент времени равны нулю.

Из формулы следует, что модуль скорости точки М тела равен:

где γ – угол между радиусом вектором r точки М и мгновенной осью вращения ОР (рис.16.5)

Рис.16.5.

Но , где h обозначает расстояние от точки М до оси ОР, т.е. мгновенный радиус вращения точки М, поэтому

Вектор v перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы ω и r. Следовательно, скорость точки М перпендикулярна к плоскости, проходящей через эту точку и мгновенную ось вращения тела. Т.о. векторное произведение можно представить в виде:

где , , - проекции вектора угловой скорости ω на оси неподвижной системы координат Охуz (рис.16.5), а х, у, z – проекции на те же оси радиуса вектора r, т.е координаты точки М.

Развертывая определитель по элементам первой строки, получим формулу разложения скорости по неподвижным координатам:

Проекции скорости на координатные оси будут соответственно равны:

Эти формулы называются кинематическими формулами Эйлера. Такой же вид будут иметь и формулы для проекций скорости на подвижные координатные оси Ох'у'z', связанные с движущимся телом:

Здесь , , - обозначают проекции угловой скорости ω на подвижные оси Ох'у'z', а х', у', z' – координаты точки М в подвижной системе осей. Координаты х, у, z являются функциями времени, так как т.М перемещается относительно неподвижных осей, а координаты х', у', z' имеют постоянные значения, так как подвижные оси перемещаются вместе с ней, следовательно, положение точки М относительно подвижных осей не меняется.

Если взять точку на мгновенной оси вращения, то радиус вектор этой точки r и вектор ω будут направлены по одной прямой. Следовательно, проекции этих векторов на оси Охуz будут пропорциональны. Поэтому, обозначая координаты точки, лежащей на оси вращения, через х, у и z, будем иметь:

Этим уравнениям удовлетворяют координаты всех точек, лежащих в данный момент на мгновенной оси вращения, поэтому эти уравнения, представляющие собой уравнения прямой, проходящей через начало координат, называются уравнениями мгновенной оси вращения в неподвижной системе осей. Очевидно, что при значениях х, у и z, удовлетворяющих уравнениям мгновенной оси вращения в неподвижной системе осей, значения проекций скорости точки М в формулах Эйлера равны нулю, так как эти точка лежит на мгновенной оси вращения.

Аналогично получаются уравнения мгновенной оси вращения в подвижной системе осей: