15.4. План скоростей

Если из произвольно взятой точки проведем векторы, равные по модулю и по направлению скоростям различных точек движущейся плоской фигуры в данный момент, то полученный таким образом чертеж называется планом скоростей данной фигуры. Пусть скорости трех точек А, В и С данной фигуры равны , и (рис.15.9а)

Рис.15.9.

Если из произвольной точки о проведем векторы , и , то получим план скоростей (рис.15.9б).

Мгновенный центр вращения фигуры лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А,В и С к скоростям , и . Соединим точки А, В и С с центром и отложим на , и отрезки , , , равные , и , где ω обозначает угловую скорость фигуры в ее вращении вокруг центра . Следовательно:

Если соединим между собой прямыми точки А,В и С и точки А₁, В₁ и С₁, то соответствующие стороны треугольников АВС и А₁ В₁ С₁ параллельны, и эти треугольники подобны, причем отношение подобия равно ω.

Так как скорости , и перпендикулярны к , и , то повернув четырехугольник В₁ С₁ вокруг точки на 90 в направлении вращения фигуры, получим план скоростей.

Таким образом, четырехугольник оabc, представляющий план скоростей, равен четырехугольнику В₁ С₁ и повернут относительно него на прямой угол.

Основные свойства плана скоростей:

1. Всякий многоугольник на плане скоростей подобен соответствующему многоугольнику на движущейся фигуре

2. Отношение подобия этих многоугольников равно ω

3. Всякая прямая на плане скоростей перпендикулярна к соответствующей прямой на движущейся фигуре.

Из треугольника оаb на плане скоростей имеем: или

Т.е. вектор на плане скоростей по модулю и направлению равен скорости точки В фигуры во вращательном движении относительно точки А, аналогичные соотношения выполняются и для остальных точек плоской фигуры.

Для построения плана скоростей достаточно знать модуль и направление скорости одной точки движущейся фигуры и прямую, по которой направлена скорость второй ее точки. Тогда скорости всех точек фигуры могут быть найдены.

Пусть известна скорость точки А и направление точки В, указанное на чертеже тонкой линией (рис.15.10а)

рис.15.10.

Проведем из произвольной точки о вектор и прямую оβ, параллельную заданному направлению скорости точки В (рис.15.10б). Вектор , изображающий скорость точки В, направлен по прямой оβ. По свойству плана скоростей ab ┴ AB. Поэтому из точки а проводим прямую, перпендикулярную к АВ. Точка пересечения этой прямой с оβ является точкой b, а вектор определяет скорость точки В. Возьмем теперь точку С фигуры. По свойству плана скоростей ас ┴ АС и bс ┴ ВС. Поэтому точка пересечения двух прямых, проведенных из точек а и b и соответственно перпендикулярных к АС и ВС, определяют на плане скоростей точку с, а вектор определяет искомую скорость точки С. Этим способом может быть определена графически скорость любой точки фигуры, при этом не требуется находить положения мгновенного центра вращения фигуры.

15.5. Ускорения точек плоской фигуры. Мгновенный центр ускорений

Всякое движение плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, можно разложить на два движения: поступательное, скорость которого равна скорости произвольно выбранной точки О' фигуры, и вращательное вокруг этой точки с угловой скоростью ω, не зависящей от выбора точки О'.

На основании теоремы сложения ускорений следует, что ускорение каждой точки движущейся плоской фигуры равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения в поступательном (переносном) движении и ускорения во вращательном движении вокруг точки О' (в относительном движении).

Обозначим ускорение переносного поступательного движения, равное ускорению точки О', через (рис.15.11), а ускорение точки А фигуры во вращательном движении вокруг точки О' (относительное ускорение) через . Тогда:

Где обозначает абсолютное ускорение точки А. Ускорение можно разложить на два ускорения: нормальное (центростремительное) ускорение , направленное по радиусу вращения точки А (по АО'), и касательное ускорение , направленное перпендикулярно к АО' (рис.15.11)

Рис.15.11.

Т.о. , при этом , и , где r=О'А, а ε обозначает угловое ускорение фигуры в ее вращательном движении, т.е. .

При ускоренном вращении фигуры ускорение будет направлено по перпендикуляру к АО' в направлении скорости точки А во вращательном движении вокруг точки О'. При замедленном вращении фигуры это ускорение будет направлено в противоположную сторону от направления скорости .

Если обозначим через α острый угол, который ускорение образует с направлением АО', то:

Отсюда следует, что этот угол имеет в данный момент одно и то же значение для всех точек фигуры.

Вектор отклоняется от направления АО' всегда в ту сторону, куда направлено касательное ускорение . Поэтому при ускоренном вращении фигуры вектор отклоняется от направления АО' на угол α в ту же сторону, куда направлена скорость точки А во вращательном движении вокруг точки О'. При замедленном вращении фигуры вектор будет отклонен от АО' на угол α в сторону, противоположную направлению скорости .

Если ε=0, то α=0, то в этом случае ускорение совпадает с центростремительным ускорением и направлено по прямой АО'.

В общем виде абсолютное ускорение можно представить как:

, или

Где и обозначают соответственно касательное и нормальное ускорения точки А фигуры в ее вращательном движении вокруг точки О', т.е.:

и .

Поэтому, для определения ускорений точек данной фигуры нужно знать ускорение точки О' этой фигуры, а также угловую скорость и угловое ускорение фигуры.

Можно показать, что в каждый данный момент времени существует такая точка фигуры, ускорение которой в этот момент равно нулю.

Пусть точка С_w будет искомым центром ускорений (рис.15.12)

Рис.15.12.

Предположим, что ускорение какой-нибудь точки О' нам известно. Найти положение точки С_w можно, если знать направление прямой О'С_w, на которой лежит эта точка и расстояние О'С_w.

Ускорение точки С_w складывается из ускорения и , при этом вектор образует с направлением О'С_w угол

По заданному условию ускорение точки С_w равно нулю, то векторы и должны иметь равные модули и противоположные направления. Отсюда следует, что прямая О'С_w образует с вектором угол равный α. Остается определить расстояние О'С_w.

Но , следовательно, , откуда

Таким образом, чтобы найти мгновенный центр ускорений, нужно полупрямую, по которой направлен вектор , повернуть вокруг точки О' на острый угол и затем отложить на ней от точки О' отрезок, равный . Конец этого отрезка определяет положение искомого центра ускорений в данный момент.

При ускоренном вращении фигуры поворот полупрямой, по которой направлен вектор , вокруг точки О' на угол α нужно производить в направлении вращения фигуры, при замедленном вращении фигуры этот поворот надо производить в направлении, обратном вращению фигуры.

Если угловое ускорение равно нулю ε=0, то α=0, то мгновенный центр ускорений лежит на прямой, по которой направлен вектор . Расстояние равно в этом случае

Положение мгновенного центра ускорений при движении фигуры не остается неизменным. Различным моментам времени соответствует различные положения центра ускорений как на неподвижной плоскости, в которой движется данная фигура, так и на подвижной плоскости этой фигуры.

Ускорение произвольной точки а плоской фигуры определяется по формуле:

Если вместо произвольной точки О' возьмем мгновенный центр ускорений С_w, то будем иметь:

Где обозначает ускорение А во вращательном движении фигуры вокруг точки С_w. Но ускорение , поэтому

Ускорение всякой точки движущейся плоской фигуры в данный момент определяется так же, как ускорение этой точки при вращательном движении фигуры вокруг мгновенного центра ускорений.

Полученная формула дает распределение ускорений в движущейся плоской фигуре в данный момент времени. Это распределение такое же, как если бы фигура вращалась с той же угловой скоростью и с тем же угловым ускорением вокруг неподвижной точки, совпадающей с точкой С_w – мгновенным центром ускорений (рис.15.13)

Рис.15.13.

Так как модуль ускорения как ускорения во вращательном движении вокруг точки С_w определяется по формуле , то

Откуда

Аналогично для точки В

Угол α, который ускорение образует с направлением , определяется оп формуле:

Т.е. этот угол имеет в данный момент одно и то же значение для всех точек фигуры.

Из полученных результатов следует:

1. Ускорения точек движущейся плоской фигуры по модулю пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра ускорений:

2. Мгновенный центр ускорений лежит в точке пересечения прямых, проведенных из двух каких-нибудь точек А и В фигуры под одним и тем же углом к ускорениям точек (рис.15.13)

3. Если угловое ускорение равно нулю ε=0, и, следовательно, α=0, то прямые по которым направлены ускорения всех точек данной фигуры в данный момент, пересекаются в одной точке – мгновенном центре ускорений.

14