![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •15.1. Уравнения плоскопараллельного движения
- •15.2. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное
- •15.3. Скорости точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей и мгновенный центр вращения фигуры
- •15.4. План скоростей
- •15.5. Ускорения точек плоской фигуры. Мгновенный центр ускорений
15.3. Скорости точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей и мгновенный центр вращения фигуры
Зная скорость поступательного движения и угловую скорость ω вращательного движения, можно определить скорость любой точки М фигуры (рис.15.4)
Рис.15.4.
Скорость точки М на
основании теоремы о сложении скоростей
будет равна векторной сумме скоростей,
которые точка М имеет в каждом из этих
двух движений – переносном и относительном.
Переносное движение поступательное,
поэтому переносная скорость любой точки
фигуры равна
,
а скорость точки М во вращательном
(относительном) движении, которую
обозначим через
,
перпендикулярна к радиусу вращения
r=О'М и равна по
модулю rω, в дальнейшем под ω будем
понимать абсолютное значение угловой
скорости
.
Следовательно, диагональ параллелограмма,
построенного на этих двух скоростях,
определяет по модулю и направлению
искомую скорость
точки М фигуры.
Скорость всякой точки М движущейся плоской фигуры равна векторной сумме двух скоростей:
Скорости произвольно выбранной точки О' этой фигуры
Скорости точки М во вращательном движении вокруг точки О'.
Точка, для которой переносная и относительная скорости равны по модулю и противоположны по направлению, имеет скорость равную нулю. Найдем эту точку (рис.15.5):
рис.
15.5.
Повернем полупрямую
по
,
по которой направлена скорость на 90
вокруг точки О' в
направлении вращения фигуры. Затем на
этой полупрямой отложим отрезок
.
Отрезок равный отношению переносной
поступательной скорости к угловой
скорости фигуры. Тогда точка С будет
искомой точкой. В самом деле, абсолютная
скорость точки С равна векторной сумме
переносной скорости
и относительной скорости во вращательном
движении вокруг точки О'.
Вращательная скорость перпендикулярна
к О'С и по модулю равна
.
Как видно из рисунка 15.5 эти две скорости
направлены по одной прямой в противоположные
стороны, поэтому модуль абсолютной
скорости точки С равен их алгебраической
сумме:
Таким образом, скорость точки С фигуры в данный момент равна нулю. Эта точка С называется мгновенным центром скоростей.
При разложении движения плоской фигуры на поступательное и вращательное точку О' можно выбрать произвольно. Если при разложении мы вместо точки О' выберем точку С, то для скорости любой точки М фигуры будем иметь:
где
обозначает скорость точки М во вращательном
движении фигуры вокруг точки С. Но
,
поэтому
,
т.е скорость любой
точки фигуры в данный момент равна по
модулю и направлению той скорости,
которую имеет в тот же момент эта точка
во вращательном движении фигуры вокруг
точки С.
Угловая скорость фигуры не зависит от выбора точки О', поэтому угловая скорость фигуры в ее вращении вокруг центра С равна той же угловой скорости ω, с которой фигура вращается вокруг точки О'.
При движении плоской фигуры в ее плоскости в каждый данный момент имеется мгновенный центр вращения фигуры, так что скорости всех ее точек в этот момент определяются как вращательные скорости вокруг этого центра.
Положение мгновенного центра вращения не остается неизменным на неподвижной плоскости, по которой перемещается фигура, так же как и положение мгновенного центра скоростей на плоскости самой движущейся фигуры.
Различным моментам времени соответствуют различные точки данной фигуры, которые являются в эти моменты центрами скоростей, т.е. различные положения мгновенного центра вращения фигуры.
Таким образом, движение
плоской фигуры можно представить как
непрерывный ряд последовательных
вращений вокруг мгновенных центров,
занимающих в разные моменты времени
различные, но вполне определенные
положения как на неподвижной плоскости
так и на плоскости движущейся фигуры.
В дальнейшем мгновенный центр скорости
и совпадающий с ним в данный момент
мгновенный центр вращения фигуры мы
будем обозначать через
.
Если положение мгновенного центра вращения в данный момент найдено и угловая скорость фигуры в этот момент известна, то скорость любой точки фигуры будет равна по модулю и направлению вращательной скорости этой точки вокруг мгновенного центра скоростей .
Например, для точек А и В движущейся фигуры рис.15.6 будем иметь:
Рис.15.6.
и
,
и
Отсюда следует, что
1 – мгновенный центр вращения фигуры лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в двух точках фигуры к скоростям этих точек
2 -
- скорости точек движущейся фигуры по
модулю пропорциональны расстояниям
этих точек от мгновенного центра вращения
фигуры.
Если нам известна по модулю и направлению скорость одной точки фигуры и направление скорости другой точки фигуры, то мы можем найти модуль этой второй скорости. Поэтому нельзя задавать произвольно по модулю и направлению скорости двух точек фигуры. Эти скорости находятся между собой в определенной зависимости, которая устанавливается следующей теоремой.
Теорема: Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, соединяющую эти точки равны между собой.
Рис.15.7.
Пусть скорости точек
А и В фигуры равны
и
.
Рассматривая
движение фигуры как сложное, которое
можно разложить на поступательное
движение со скоростью
и вращательное
вокруг точки А с угловой скоростью ω,
заключаем, что скорость точки В равна
векторной сумме двух скоростей: скорости
поступательного переносного движения
и скорости этой точки В в относительном
вращательном движении вокруг точки А.
Если обозначим вторую скорость
,
то эта зависимость выразится векторным
равенством
Причем скорость равна по модулю АВω и направлена перпендикулярно к АВ. Проектируя скорости и на прямую АВ и обозначая их проекции через Аа и Вb, из равенства треугольников АКа и ВLb получим, что Аа= Вb. Чтд.
Предположим, что скорости двух точек А и В плоской фигуры в данный момент параллельны, причем эти скорости образуют с прямой АВ некоторый угол α, не равный 90 рис.15.8.
Рис.15.8.
На основании теоремы
о равенстве проекций этих скоростей на
направление АВ, имеем:
или
и, следовательно,
Поэтому из равенства
следует, что
,
или
,
откуда
.
Если рассмотрим какую-нибудь третью
точку С фигуры, то ее скорость равна
,
где
обозначает скорость точки С во вращательном
движении фигуры вокруг точки А и,
следовательно,
,
а потому
.
Таким образом, скорости всех точек фигуры в данный момент равны как по модулю, так и по направлению, т.е. в данном случае мы имеем такое же распределение скоростей в движущейся плоской фигуре, как и при поступательном движении этой фигуры.
Если в точках А и В восставим перпендикуляры к скоростям этих точек, то они будут параллельны. Поэтому мгновенный центр вращения фигуры, находящийся в точке пересечения этих перпендикуляров, оказывается в данном случае бесконечно удаленным.
В тот момент, когда мгновенный центр скоростей вращения фигуры оказывается бесконечно удаленным, угловая скорость фигуры равна нулю, а скорости всех ее точек равны по модулю и имеют одно и то же направление.