- •Задачи по дисциплине «теоретические основы электротехники» Раздел «линейные цепи»
- •1. Основные законы, элементы и параметры электрических цепей
- •2 Электрическая цепь однофазного синусоидального тока
- •3 Применение комплексных чисел и векторных диаграмм к расчету электрических цепей
- •4 Резонанс в электрических цепях
- •5. Цепи трехфазного тока
- •6. Расчет цепей несинусоидального переменного тока
- •6.1 Способы предоставления несинусоидальных функций.
- •6.2 Энергетические характеристики несинусоидального тока
- •6.3 Расчет цепей несинусоидального переменного тока по мгновенным значениям
- •6.4 Расчет цепей несинусоидального переменного тока по комплексным значениям
- •Библиографический список
4 Резонанс в электрических цепях
Задача 4.1. В цепи с последовательно соединенными R, L и С наступает резонанс напряжений при угловой частоте 500 рад/сек; R = 34 Ом; L= 400 мГн; напряжение на зажимах цепи Определить емкость С и мгновенные значения тока и напряжений на элементах цепи; построить векторную диаграмму.
Решение:
=500 рад/сек., R = 34 Ом, L = 400 мГн., .
, 500 рад/сек = ;
мкФ.
A;
В.
Задача 4.2 Цепь состоит из индуктивной катушки (RL) и емкости, соединенных последовательно. Напряжение на зажимах 120 В. Определить напряжение на катушке при резонансе, если при этом напряжение на емкости равно 208 В.
Решение
UC =208 B, UR =120 B.
Задача 4.3. Вычислить резонансную частоту и частоты, при которых напряжения на L и C максимальны цепи с последовательно соединенными R=50 Ом; L=10 мГц и С=1 мкФ.
Решение:
R=50 Ом, L=10 мГн, С=1 мкФ.
рад/сек.
.
.
Задача 4.4. Вычислить резонансную частоту и добротность контура, состоящего из последовательно соединенных R=50 Ом; L=65·10 -6 Гн, С=1,56·10-9 Ф. Определить сопротивление цепи при частоте, превышающей резонансную на 1%.
Решение:
Гц.
Задача 4.5. Резонанс напряжений в контуре R, L, C наступает при частоте 1 МГц. Полоса пропускания резонансного контура равна 5000 Гц; сопротивление цепи при резонансе 50 Ом. Найти R, L и C.
Решение:
;
.
Задача 4.6. Резонанс напряжений в контуре R, L, C, наступает при 1,5 МГц; добротность контура равна 250. Вычислить частоты, соответствующие половинной мощности.
Решение:
Задача 4.7. Последовательно с L включен участок цепи, состоящий из параллельно соединенных R и C. При частоте 1000 Гц индуктивное и емкостное сопротивления элементов L и C равны каждое 100 Ом; R=200 Ом. Вычислить резонансную частоту и проводимость цепи при резонансе, пояснить явления резонанса в заданной цепи.
Решение:
.
Задача 4.8. Если в цепи сопротивление R превысит определенное значение, то резонанс токов будет невозможен. Пояснить это физически и привести условие, при котором резонанс невозможен.
Ответ: R1<, .
5. Цепи трехфазного тока
Задача 5.1. Найти фазные и линейные токи в цепи и построить векторную диаграмму, если линейное напряжение равно 120 В и между проводами А и В включена лампа мощностью 60 Вт.
Решение.
На схеме указываем положительные направления токов.
Ток равен:
В треугольнике векторов симметричных линейных напряжений вектор тока IАВ совпадает по направлению с вектором напряжения UАВ, так как угол сдвига фаз φAB=0.
На основании первого закона Кирхгофа можно записать следующие уравнения:
Допустим, что между проводами В и С включили вторую лампу такой же мощности как и первая, тогда ток находится по формуле:
Вектор тока IBC совпадает по направлению с вектором напряжения UBC . так как φBC=0.
Вектор фазного тока IАB не изменился, так как включение лампы между проводами В и С не изменит напряжения UAB.
На основании первого закона Кирхгофа запишем уравнения:
Эти соотношения отражены на векторной диаграмме. Теперь между точками С и А включим третью лампу, аналогичную первым двум.
Это не изменит фазных токов IАВ и IBC, но отразится на двух линейных токах IА и IC.
Фазный ток будет равен:
Вектор фазного тока на векторной диаграмме совпадает по направлению с вектором напряжения , так как нагрузка активная.
На основании первого закона Кирхгофа:
Уравнения (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) и (8) устанавливают зависимость при соединении треугольником между линейными и фазными токами.
Таким образом, режим в каждой фазе в соединении треугольником не зависит от режимов в других фазах, если действующие значения линейных напряжений сети постоянны и не зависят от нагрузки.
Линейный ток при соединении фаз приемника треугольником равен разности векторов тех двух фазных токов, которые связаны с ним первым законом Кирхгофа.
На рис. 4.1, е для построения вектора , равного разности , взята сумма векторов .
Векторы и равны по модулю и противоположны по направлению.
Если бы система была симметричной, например, при активно-индуктивной нагрузке фаз, то фазные токи отставали бы от соответствующих фазных напряжений на угол φ=arctg(x1/r) и на векторной диаграмме векторы фазных токов , и были бы сдвинуты на угол φ от векторов напряжений , и в сторону отставания. В остальном построение векторной диаграммы ведется так же.
Таким образом, для симметричной системы угол сдвига фаз определяет расположение каждого треугольника токов относительно треугольника линейных напряжений.
Задача 5.2. В схеме напряжение между каждым линейным проводом и нейтралью равно 120 В. Лампа мощностью 60 Вт включается между проводом А и нейтралью O1. Определить токи в проводах и построить векторную диаграмму.
Решение:
Ток равен:
Вектор тока совпадает по направлению с вектором напряжения , так как φа =0.
Согласно первому закону Кирхгофа,
Если присоединить вторую такую же лампу между проводом В и нейтралью O1 , то в лампе установится ток
Ток IB совпадает по фазе с фазным напряжением UB, следовательно, его вектор совпадает по направлению с вектором напряжения .
На основании первого закона Кирхгофа для точки О1
,
т.е., вектор тока в нейтральном проводе равен геометрической сумме векторов токов и .
Если присоединить третью лампу, аналогичную первым двум, между проводом С и нейтралью О1, то получим три однофазных приемника энергий, которые будут включены по схеме соединения звездой. Режим- симметричный.
Ток
не изменит токов IА и IВ .
Ток в нулевом проводе, согласно первому закону Кирхгофа, для точки О:
.
При симметричном режиме этот ток равен нулю.
Аналогично решались бы задача и в случае различных мощностей. Если бы эти приемники были активно-индуктивными (например катушки), то векторы фазных токов надо было бы отложить в сторону отставания относительно соответствующих векторов фазных напряжений, с учетом фазного угла отставания. Векторная диаграмма в рассматриваемом соединении проста, так как векторы всех фазных токов и напряжений имеют общее начало в точке О1, которая совпадает с центром тяжести равностороннего треугольника напряжений.
Задача 5.3. К четырехпроводной трехфазной цепи с линейным напряжением 380 В присоединены электрические лампы между линейными проводами и нейтральным проводом и активно-индуктивный симметричный трехфазный приемник энергии, имеющий полную мощность 5,7 кВт и cosφ=0.866. Мощности фаз равны: РА = 1,1 кВт; Рн = 2,2 кВт; Рс = 3,3 кВт.
Определить токи в линейных и нейтральном проводах цепи.
Решение:
Преимущество трехфазных цепей с нейтральным проводом состоит в том, что фазные напряжения ламп равны и образуют симметричную трехфазную систему:
.
Поскольку лампы обладают только активными сопротивлениями, то соответствующие токи будут равны:
Согласно первому закону Кирхгофа, для нейтральной точки О
Для построения векторной диаграммы удобно выбрать масштаб mU =5 B/мм, mI =0,5 А/мм. Сначала откладываем векторы фазных напряжений , и
Векторы фазных токов ламп будут совпадать с векторами напряжений, так как для ламп φА =φв =φс =0. Произведя геометрическое сложение токов, получаем
Данный трехфазный приемник активно-индуктивный и, следовательно, фазные токи , и равные между собой по величине, отстают по фазе от напряжений , и на угол φ= 30° (коэффициент мощности cosφ= 0.866 соответствует углу сдвига фаз φ= 30°).
рис 5.1-векторная диаграмма
По векторной диаграмме строим векторы токов , и .
Применяя первый закон Кирхгофа для узлов А, В, С, находим из диаграммы векторы линейных токов трехфазного приемника
Для симметричного приемника эти токи больше в √3 раза фазных токов , и .
Суммарные токи в линейных проводах определяются геометрическим сложением их векторов:
Задача 5.4. Обмотки трехфазного электродвигателя соединены треугольником. В эквивалентной схеме замещения каждая обмотка представлена активным и индуктивным сопротивлениями r = 60 Ом; xL =11 Ом. Напряжение между проводами линии в месте присоединения электродвигателя UAB=UBC=UCA=6100 B. Каждый из проводов линии имеет активное сопротивление rЛ = 1 Ом и индуктивное xЛ = 2,9 Ом.
Определить напряжение между проводами в начале линии.
Решение.
Полное сопротивление фазной обмотки электродвигателя равно:
.
В схеме соединения треугольником каждая фаза включена на линейное напряжение, поэтому токи в фазах треугольника можно найти по закону Ома:
Следовательно, токи в проводах линии, подведенной к этой схеме, могут быть найдены по формуле:
Линейные напряжения на входе линии определим сложением векторов фазных напряжений электродвигателя и векторов падений напряжения соответствующих участков линий. Для этого заменим схему соединения треугольником эквивалентной схемой соединения звездой.
Комплексное сопротивление фазной обмотки электродвигателя будет равно:
.
Комплексное сопротивление луча звезды, эквивалентной симметричному треугольнику, в три раза меньше комплексного сопротивления стороны этого треугольника:
отсюда
.
Полное сопротивление неразветвленного участка, состоящего из провода линии и луча эквивалентной звезды:
При токе фазное напряжение на этом участке равно:
Так как линейное напряжение в √3 раза больше фазного напряжения, то в начале линии оно равно:
Ответ. UAB=6600 В.