2 Электрическая цепь однофазного синусоидального тока

Задача 2.1. Ток изменяется по закону , А; частота f = 50 Гц. Определить наибольшую скорость изменения тока и соответствующее этому моменту значение тока.

Решение:

т.к. при sinωt=1 → cosωt=0.

Задача 2.2. На зажимах цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R = 50 Ом и индуктивности L = 0,1 Гн, задано напряжение . Частота f = 50 Гц. Вычислить полное сопротивление цепи и действующие значения напряжений на R и L; вывести выражение для гармонического тока i(t); построить кривые i(t), u(t) и напряжений на R и L .

Решение:

; ;

;

Задача 2.3. На зажимах цепи, состоящей из последовательно включенных сопротивления R = 30 Ом и емкости С = 6 мкФ, задано напряжение , В; частота f = 400 Гц. Вычислить полное сопротивление цепи и действующие значения напряжений на R и С.

Решение:

Полное сопротивление цепи

Ток в цепи

Угол сдвига фаз между напряжением и током

Действующие напряжения на элементах цепи:

Задача 2.4. Напряжение на зажимах сопротивления R = 3,63 Ом и индуктивности L = 0,02 Гн, соединенных параллельно, , В. Вычислить полную проводимость цепи и действующие значения токов в R и L; вывести выражение для суммарного гармонического тока в цепи; построить кривые напряжения и токов в цепи.

Решение:

Полная проводимость цепи

Угол сдвига фаз между напряжением и током

Ток в цепи:

Кривые напряжения и токов в цепи простроить самостоятельно.

Задача 2.5. В электрической цепи переменного тока напряжением U=200 В и частотой f=50 Гц амперметр показывает напряжение U_R=100 В, а вольтметр на дросселе L показывает напряжение U_L=196 В. Определить полное, активное и индуктивное сопротивления схемы, коэффициент мощности, активную, реактивную и полную мощности (рис. 2.1).

рис 2.1

Решение:

Полное сопротивление цепи

Z=U/I=220/0.5=440 Ом.

Активное сопротивление цепи

R=U_R/I=100/0.5=200 Ом.

Индуктивное сопротивление цепи

X_L=U_L/I=196/0.5=392 Ом.

Индуктивность дросселя

L=X_L/2 f=392/(2/3.14*50)=1.25 Гн.

Коэффициент мощности схемы

Активная скорость цепи- это мощность на резисторе

P=U_RI=100*0.5=50 Вт.

Реактивная мощность-это мощность на дросселе

Q=U_LI=196*0.5=98 ВАР.

Полная мощность цепи

Проверка правильности расчета

S=UI=220*0.5=110 ВА.

3 Применение комплексных чисел и векторных диаграмм к расчету электрических цепей

Задача 3.1. Произвести вычисления

а)

Решение:

,

где  модуль комплексной функции;

 аргумент комплексной функции;

x  действительная часть,

у  мнимая часть.

Представим комплексные функции в тригонометрической форме:

.

Ответ:

б) (8,66 + j5) (3,53 + j3,53)

Решение:

(8,66 + j5) (3,53 + j3,53) = 8,663,53 + j53,53 + j8,663,53  53,53 =

= 30,57+ j17,65 + j30,57  17,65 = 12,92 + j48,22 = x + jy.

Ответ:

в) .

Решение:

Ответ:

г)

Решение:

Ответ:

Задача 3.2. Определить комплексное сопротивление нагрузки для электрической цепи, состоящей из активного сопротивления r=4 Ом, индуктивности L=0,0255 Гн и емкости С=0,000637 Ф.

Рис. 3.1

Решение.

Модуль комплексного сопротивления цепи:

=5 Ом.

На рис. 3.1. изображен на комплексной плоскости треугольник сопротивлений. Один катет этого треугольника, равный активному сопротивлению r=4 Ом, отложен в направлении действительной оси, другой, равный разности индуктивности и емкостного сопротивлений, в направлении мнимой оси.

Тогда комплексное сопротивление цепи в алгебраической форме запишется так:

Чтобы записать комплексное сопротивление цепи Z в тригонометрической и показательной формах, найдем угол ϕ из треугольника сопротивлений:

_Тогда:

_{Задача 3.3.} Определить входное комплексное сопротивление цепи (рис. 3.2), если

Рис. 3.2.

Решение:

Запишем комплексные сопротивления отдельных участков:

Комплексное эквивалентное сопротивление разветвленного участка:

Входное комплексное сопротивление цепи:

_Ответ: =7,94-j1,42

Задача 3.4. Решить в комплексной форме следующие задачи:

а) сложить напряжения

Решение:

.

Ответ:

б) сложить токи

Решение:

,

.

Ответ: .

Задача 3.5. К цепи, состоящей из R = 7 Ом и L = 63,7 мГн, соединенных последовательно, приложено напряжение 250sin377t, В. Найти тригонометрическое и комплексное выражение тока, комплексные напряжение и сопротивление; построить векторную диаграмму.

Решение:

где ;

Векторную диаграмму построить самостоятельно.

Задача 3.6. К цепи, состоящей из R = 20 Ом, L = 100 мГн и С = 50 мкФ, соединенных последовательно, приложено напряжение u = 14,14sin377t, В.

Вычислить комплексные ток и напряжения на R, L и С; построить векторную диаграмму.

Решение:

; ;

; ;

Здесь ток и напряжения имеют мгновенные значения. Чтобы получить действующие значения, нужно разделить на  ответы совпадут.

Векторная диаграмма приведена на рисунке.

Задача 3.7. Сохранив условия предыдущей задачи 3.6, вычислить мгновенные значения тока и напряжений на R, L и С при t = 0,01 сек.

Решение:

-здесь 337t в радианах.

Пропорция:

.

.

Задача 3.8. Комплексное сопротивление Z = 3 + j5 Ом. Вычислить активную и реактивную проводимости.

Решение:

Сим.

Задача 3.9. Комплексная проводимость Y = 0,2 – j0,2 Сим. Вычислить активное и реактивное сопротивления.

Решение:

Задача 3.10. Две катушки, индуктивно связанные между собой, присоединены к источнику напряжения U=120 В (рис 3.3, а), сопротивления , , f = 50 Гц.

Определить ток, если коэффициент связи катушек индуктивности K=0,8.

а) б)

рис 3.3

Решение. При решении задачи следует, прежде всего, посмотреть, как включены катушки — согласно или встречно. Одноименные зажимы на схеме отме­чены точками. Ток в первой катушке входит со стороны точки, а во вто­рой— выходит со стороны точки. Следовательно, катушки соединены встречно.

Взаимная индуктивность:

Реактивные сопротивления катушек индуктивности:

Сопротивление взаимной индукции:

Комплексные сопротивления первой и второй катушек с учетом ин­дуктивной связи равны соответственно:

Сопротивление взаимной индукции взято со знаком минус, поскольку включение катушек встречное.

Комплексное общее сопротивление цепи

Ток в катушках

_{I=U/Z=120/(6+j1,63)=(18,6-j5,05) А;}

_{I=|I|=19,2 A.}

На схеме (рис. 3.3, б) показано согласное включение катушек. При этом комплексное сопротивление каждой катушки индуктивности будет равно:

Комплексное сопротивление всей цепи:

Ток в катушках:

_{I=U/Z=120/(6+j14,4)=(2,95-j7,1) А;}

_{I=|I|=7,7 A.}

Сравнивая значения тока при встречном и согласном включении катушек индуктивности, видим, что ток меняется по величине и фазе в зависимости от того, какими выводами присоединены катушки, т. е. сказывается влияние индуктивной связи.

Задача 3.11. Две индуктивно связанные катушки индуктивности присоединены к источнику напряжения U = 220 В параллельно, f=50 Гц.

Определить общий ток цепи при согласном (рис. 3.4, а) и встречном (рис. 3.4, б) включении катушек, если К=0,9; r₁ =5 Ом; r₂=х₁ =4 Ом; x₂=6 Ом.

Решение.

1. Согласное включение катушек индуктивности.

Индуктивные сопротивления катушек индуктивности L₁ и L₂:

_{рис 3.4}

Коэффициент взаимной индуктивности равен:

Зная коэффициент взаимной индуктивности M можно найти комплексные сопротивления Z₁ и Z₂ первой и второй ветвей:

Комплексное общее сопротивление:

Общий ток цепи равен:

I=U/Z=220/(2,28+j4,7)=(18,36-j38) A.

I=|I|=

_Ответ.

2. Встречное включение катушек индуктивности.

Находим комплексные сопротив­ления параллельных ветвей:

Комплексное общее сопротивление параллельно соединенных ветвей составит:

Общий ток цепи равен:

I=U/Z=220/(2,29+j0,795)=(89,5 - j31) A;

I=|I|=

Задача 3.12. Заданы в комплексном виде напряжение на ветви и ток , проходящий через эту ветвь. Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость цепи; построить векторную диаграмму.

Решение:

Задача 3.13.  К, R и L, соединенным последовательно, подведено напряжение Записать выражение для мощности в комплексной форме.

Решение:

Вт.

Векторную диаграмму построить самостоятельно.

Задача 3.14.  На зажимах цепи, состоящей из последовательно соединенных R и C, напряжение равно U=127 В, ток I=27,6 мА, частота f=400 Гц, напряжение на сопротивлении U_R=63,5 В. Определить R и C.

Решение:

– общее сопротивление цепи.

Задача 3.15 Используя метод комплексных амплитуд, определить мгновенное значение токов i₁(t) и i₂(t), если известны параметры элементов схемы, приведенной на рис. 3.5.

e₁(t)=10sin100t В; e₂(t)=14,1 sin(100t+45^о) В; r₁=r₂=1 Ом; L=10 мГн; C=10 000 мкФ.

а) б)

рис 3.5 Исходная(а) и расчетная (б) схемы цепи

Решение

1) Запишем комплексные амплитуды напряжений источников:

2) Рассчитаем комплексные сопротивления элементов схемы:

Ом;

Ом.

3) Для расчета комплексных амплитуд тока в ветвях воспользуемся методом контурных токов. Выберем направления токов, показанные на схеме рис 3.5б, и запишем систему контурных уравнений цепи:

где Z₁₁=r₁+Zc=(1-j) Ом; Z₂₂=r₁+r₂+Z_L=1+1+j=(2+j) Ом;

Z₁₂=Z₂₁=r₁=1 Ом;

4) Решим систему контурных уравнений и найдем контурные токи:

где

Откуда после подстановки значений определителей получим:

5) Запишем мгновенные значения токов:

i₁(t)=16sin(100t+60^o) A;

i₂(t)=13,4sin(100t+27^o) A.