- •Основные опубликованные работы:
- •Электротехника и электроника
- •Часть 1
- •13 Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •13.1 Возникновение переходных процессов
- •13.2 Законы коммутации и начальные условия
- •13.3 Принужденный и свободный режимы
- •13.4 Переходный процесс в цепи r, l
- •13.5 Переходный процесс в цепи r, c
- •Операторный метод анализа переходных процессов в линейных цепях
- •1.1 Преобразование Лапласа и его свойства
- •1.2 Теорема разложения
- •1.3 Расчет переходных процессов операторным методом
13.5 Переходный процесс в цепи r, c
Положим, что в момент t=0 цепь , состоящая из сопротивления г и емкости C, включенных последовательно, присоединяется к источнику ЭДС e(t) (рис.13.6)
Рис. 13.6. Включение цепи r, C
На основании второго закона Кирхгофа уравнение для времени имеет вид: ,
где UC - напряжение на емкости.
С учетом того, что получаем: , здесь искомой величиной является напряжение на емкости.
Характеристическое уравнение имеет вид и соответственно корень уравнения .
Следовательно, свободная слагающая напряжения на емкости
Где – постоянная времени контура r, C (измеряется в секундах: ).
Переходное напряжение на емкости равно сумме принужденного и свободного напряжения:
В свою очередь ток в
Рассмотрим три случая:
включение в цепь г, С постоянной ЭДС Е;
короткое замыкание цепи г, С;
включение в цепь г, С гармонической ЭДС,
1.Включение в цепь r, C постоянной ЭДС.
Включим постоянную ЭДС Е в цепь с сопротивлением и предварительно заряженной емкостью С (полярность заряженной емкости указана на рис.13-6 знаками «+» и «-»); начальное напряжение на емкости обозначим для простоты через U.
Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника. Поэтому согласно (13.12)
.
Постоянная интегрирования А, входящая в (13-14), находится по начальному условию:
при t=0 имеет U=E+A, откуда A=U-E
Следовательно, .
Согласно (13.13) ток в контуре
.
Если то с течением времени напряжение на емкости возрастает, стремясь к установившемуся значению Е, а ток убывает, стремясь в пределе к нулю; на рис. 13.7,а изображены кривые нарастания и спада i. Чем больше постоянная времени, тем медленнее происходят нарастание и спад i.
а)
б)
Рис. 13.7 Ток и напряжение при включении в цепь r, C постоянной ЭДС
Если E<U, то кривые и i имеют вид, показанный на рис. 13.7,б.
Постоянная времени может быть найдена также, как и раньше, графически как подкасательная к кривой i в любой точке (например, при t=0).
Закон изменения напряжения на емкости и тока в данной цепи аналогичен закону изменения тока и напряжения в контуре r, L, рассмотренном выше. Поэтому все сказанное о постоянном времени в предыдущем случае сохраняет силу для данного случая.
2. Короткое замыкание цепи r, С.
Замыкание накоротко цепи, состоящей из последовательно соединенных г и C, равносильно принятию в предыдущем случае ЭДС, равной нулю. Предполагается ,что емкость С заряжена, т.е. в момент включения на ее зажимах имеется напряжение U.
Положив в (13.15) и (13.16) ЭДС Е равной нулю, получим:
Где
При коротком замыкании цепи г, С электрический ток идет от зажима "+" к зажму ”-”. Следовательно при выбранной на рис.13-6 полярности емкости ток проходит через сопротивление г в направлении, противоположном тому, которое принято на рис.13-6 за положительное. Поэтому в выражении для тока стоит знак «-». На рис. 13-8 изображены кривые спада и i.
Рис.13.8 Ток и напряжение при коротком замыкании цепи г, С
В отличие от напряжения на емкости, которая изменяется непрерывно, ток в контуре г, С, пропорциональный скорости изменения , совершает при t=0 скачок.
Энергия, рассеиваемая сопротивлением r в течение всего переходного процесса, равна энергии, запасенной в электрическом поле до коммутации:
Также как и для цепи r, L переходный процесс может считаться законченным спустя так как к этому времени емкость разрядится на 98,2-99,3% и напряжение на емкости снизится до 1,8-0,7% первоначального значения (см.§13.4,случай I).
3. Включение в цепь r, С гармонической ЭДС.
При включении в цепь r, С гармонической ЭДС принужденное напряжение на емкости будет:
где
На основании (13.12)
Если предполагать, что конденсатор не был заряженным, то постоянная интегрирования определяется по начальному условию
откуда
Тогда искомое напряжение на емкости будет:
а ток в цепи
Из написанных выражений видно, что если включение цепи r, C происходит в момент когда принужденный ток должен достигать максимума - положительного или отрицательного (т.е. ), а принужденное напряжение на емкости должно быть равно нулю, то свободная слагающая напряжения на емкости не возникает и в цепи сразу без переходного процесса наступает принужденный установившийся режим.
Так как цепь r, C по протеканию переходной: процесса подобна цепи r, L, то при соответствующем подборе параметров r и C она также может служить дифференцирующим или интегрирующим звеном.