13.3 Принужденный и свободный режимы

В общем случае анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами r, L, C, M сводится к решению обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа. Эти уравнения представляют линейную комбинацию напряжений, токов, их первых производных и интегралов по времени.

Например, если какая-нибудь ЭДС е(t) включается в цепь состоящую из последовательно соединенных г, L, C, то интегро-дифференциальное уравнение имеет вид:

Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка:

Как известно, общее решение такого уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Частное решение выражает принужденный режим, задаваемый источником. Если воздействующая функция, стоящая в правой засти уравнения, постоянна или является периодической функцией времени, то принужденный ток будет одновременно и установившимся. Расчеты установившихся токов рассмотрены в предыдущих главах. Нахождение частного решения в других, более сложных случаях, будет изложено в §13-7, а также в §14-12.

Общее решение физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и при заданных начальных условиях. Функции, определяемые общим решением, называются свободными составляющими (токов, напряжений и др.).

В случае, рассмотренном выше, однородное уравнение имеет вид:

и соответствующее ему характеристическое уравнение

.

Если корни характеристического уравнения обозначить через p₁ и p₂ , то общее решение запишется в виде:

где А₁ и А₂ – постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий (§13.7).

Полный переходной ток в цепи равен сумме принужденного и свободного токов:

Аналогично напряжение, заряд, магнитный поток и другие функции на любом участке цени в переходном режиме состоят из принужденной и свободной составляющих.

На основании законов коммутации (§13.2) можно найти начальные независимые условия и . После этого можно записать согласно (13.7):

откуда

Итак, начальные значения свободных функций и определяются изменениями в момент коммутации соответствующих принужденных функций.

В частном случае при нулевых начальных условиях

;

.

В зависимости от порядка дифференциальных уравнений описывающих исследуемые переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высокого порядка.

В цепях первого порядка накопление энергии происходит только в одном элементе, L или С, в форме магнитной энергии (в цепи с индуктивностью - §13.4) или электрической энергии (в цепи с емкостью - §13.5). Одноконтурная цепь, содержащая элементы, в которых накапливается энергия обоих видов - магнитная и электрическая, представляет цепь второго порядка (цепь r, L, C - §13.6). Разветвленные цепи могут быть более высокого порядка (§13.7).

13.4 Переходный процесс в цепи r, l

Положим, что в момент t=0 цепь, состоящая из сопротивления r и индуктивности L, включенных последовательно, присоединяется к источнику ЭДС e(t) (рис. 13.2).

Рис 13.2 Включение цепи r, L

Дифференциальное уравнение для времени записывается в виде:

.

Характеристическое уравнение имеет вид и соответственно корень уравнения .

Отсюда свободный ток: .

Переходной ток в цепи определится суммой принужденного и свободного токов:

.

Принужденный ток может быть найден, если задана ЭДС e(t). Рассмотрим три случая:

1. включение в цепь г, L постоянной ЭДС Е;

2. короткое замыкание цепи r, L;

3. включение в цепь г, L гармонической ЭДС. e(t),

1.Включение в цепь г, L постоянной ЭДС Е;

При включении в цепь г, L постоянной ЭДС Е принужденный ток равен E/r. Поэтому согласно (13.9)

.

Постоянная интегрирования A находится по начальному условию

.

Согласно уравнению (13.10) при t=0

.

Откуда .

Следовательно, .

Здесь - предельное значение, к которому стремится ток i(t) по мере неограниченного возрастания t, называемое установившимся током.

.

Рис. 13.3 Принужденный свободный и переходный токи при включении в цепь r, L постоянной ЭДС

В начальный момент t=0 ЭДС самоиндукции

,

и полностью компенсируется ЭДС источника, так как ток i(0) равен нулю.

С течением времени ЭДС самоиндукции убывает, а ток цепи возрастает, асимптотически приближаясь к установившемуся значению.

На рис. 13.3 показаны кривые принужденного, свободного и переходного токов; на этом же рисунке изображена кривая напряжения на индуктивности

.

Из курса матанализа известно, что если y=f(t), то подкасательная равна . В данном случае при любом значении t

.

Величина носит название постоянной времени. Постоянная времени измеряется в секундах:

.

Выражение (13.11) показывает, что постоянна времени графически определяется длиной к кривой или при любом значении t.

Нарастание тока происходит тем быстрее, чем меньше постоянная временили соответственно, чем быстрее убывает ЭДС самоиндукции. Для различных моментов времени ток в цели, выраженный в процентах конечного (установившегося) значения, составляет:

	63.2	86.5	95	98.2	99.3	100

Следовательно, постоянная времени цепи r, L равна промежутку времени, в течение которого свободная составляющая тока убывает в e=2,718 раза, и соответственно ток в этой цепи, включенной на постоянное напряжение, достигает 63.2% своего установившегося значения.

Как видно из рис.. 13.3 и приведенных значений t и i/I, переходный процесс теоретически длится бесконечно долго. Практически же можно считать, что он заканчивается спустя .

2.Короткое замыкание цепи r, L.

Положим, что цепь r, L, присоединенная к источнику постоянного или переменного напряжения, замыкается при t=0 накоротко (рис.13.4,а). В образовавшемся при этом контуре r, L благодаря наличию магнитного поля индуктивной катушки ток исчезает не мгновенно: ЭДС самоиндукции обусловленная убыванием магнитного потока стремится поддержать ток в контуре за счет энергии исчезающего магнитного поля. По мере того как энергия магнитного поля постепенно рассеивается, превращаясь в сопротивлении г в тепло, ток в контуре приближается к нулю.

Процесс, происходящий в короткозамкнутом контуре r, L, является свободным; принужденный ток в данном случае равен нулю.

Положив в (13.9) имеем:

Постоянная интегрирования А находится из начального условиях

.

Откуда ;

здесь i(o-) - значение тока в индуктивности в момент непосредственно предшествовавший короткому замыканию; оно может быть положительным или отрицательным.

На рис.13.4,б изображены кривые спада тока в короткозамкнутом контуре и кривая напряжения на индуктивности

.

В предположении, что

а)

б)

Рис.13.4 Короткое замыкание цепи r, L. а - расчетная схема; б – кривые тока i и напряжения

Постоянная времени контура может быть найдена графически как подкасательная кривой i(t) (например, в момент t=0).

Переходный процесс в короткозамкнутом контуре заканчивается теоретически при . За это время в сопротивлений г выделяется в виде тепла энергия

т.е. вся энергия, запасенная в магнитном поле катушки до коммутации.

Так же как и в предыдущем случае, переходный процесс в короткозамкнутом контуре можно практически считать законченным спустя .

3.Включение в цепь R, L гармонической ЭДС.

При включении в цепь r, L гармонической ЭДС

принужденный ток будет:

где ;

Постоянная интегрирования определяется по начальному условию

.

Следовательно, .

Откуда .

Поэтому искомый ток будет:

На рис.13.5,а изображены i_пр , i_св, i. Начальные ординаты i_пр.(0), i_св(0) одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку: поэтому ток в начальный момент равен нулю. Свободный ток убывает по показательному закону. По истечении времени t= свободный ток уменьшается в e=2.718 раза по сравнению с начальным значением i_св(0). Постоянная времени прямо пропорциональна частоте :

.

Если в момент коммутации (t=0) ток i_пр. проходит через нуль, т.е. выполняется условие , то свободный ток не возникает, и в цепи сразу наступает принужденный, установившийся режим без переходного процесса.

а) б)

0

Рис.13.5 Принужденный, свободный и переходный токи при включении в цепь r, L гармонической ЭДС

Если же коммутация происходит при или то начальный свободный ток максимален (рис.13-5.б), а именно и ток переходного режима достигает экстремального значения (положительного или отрицательного) в конце первого полупериода. Однако даже в предельном случае, когда r=0 и, следовательно, , ток не может превышать предельную амплитуду установившегося режима более чем вдвое.