§3. Аффинная эквивалентность.

Определение. Фигуры  и (;¯, лежащие в плоскостях (; ¯ и  соответственно, называются аффинно-эквивалентными, если существует аффинное отображение f:(; ¯ ^– , которое фигуру (;¯ переводит в фигуру .

Вершины произвольного треугольника образуют репер. Поэтому из теоремы 3 следует, что произвольные два треугольника A; ¯B; ¯C; ¯(; ¯ и ABC аффинно-эквивалентны.

Теорема 5. Два четырёхугольника, которые лежат в плоскостях (; ¯ и  аффинно-эквивалентны тогда и только тогда, когда их можно обозначить буквами A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ и ABCD так, что для точек E; ¯ = A; ¯C; ¯  B; ¯D; ¯ и E=ACBD будет выполнено

(A; ¯C; ¯, E; ¯)=(AC, E), (B; ¯D; ¯, E; ¯)=(BD, E) (1)

Условие (1) означает, что соответствующие диагонали четырёхугольников делятся точкой пересечения диагоналей в одинаковом отношении.

Доказательство. Пусть четырёхугольники аффинно-эквивалентны. Это значит, существует аффинное отображение f:(; ¯ ^– , которое переводит первый четырёхугольник во второй. Обозначим их так, чтобы выполнялось A=f(A; ¯), B=f(B; ¯), C=f(C; ¯), D=f(D; ¯). Тогда отрезок A; ¯C; ¯ переходит в отрезок AC, отрезок B; ¯D; ¯ – в отрезок BD. Точка пересечения отрезков A; ¯C; ¯ и B; ¯D; ¯ переходит в точку пересечения отрезков AC и BD, и при этом сохраняется простое отношение трёх точек. Это означает, что выполняется (1).

Обратно, пусть четырёхугольники обозначены буквами так, что выполнено (1). Рассмотрим аффинное отображение f:(; ¯ ^– , которое переводит репер R; ¯ = {A; ¯, B; ¯, D; ¯} в репер R = {A, B, D}. В силу (1) точка E; ¯ будет переходить именно в точку E. Мы имеем f(A; ¯)=A, f(E; ¯)=E. Значит, луч A; ¯E; ¯ переходит в луч AE, а первое из условий (1) оказывает, что точка C; ¯A; ¯E; ¯ переходит в точку CAE. Таким образом, четырёхугольник A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ переходит в четырёхугольник ABCD.

§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.

Выберем в пространстве некоторую плоскость  и назовём её плоскостью изображений. Выберем вектор p;\s\up8(( непараллельный . Направление этого вектора назовём направлением проецирования. Пусть (;¯ – некоторая фигура в пространстве, а _o – её проекция на плоскость .

Определение. Фигуру (;¯ будем называть оригиналом, а _o – проекцией оригинала. Всякая фигура , подобная _o называется изображением фигуры (;¯.

Поясним. Вы хотите изобразить на стандартном листе бумаги стол. Проекция стола на этот лист не помещается. Поэтому необходимо совершить преобразование подобия: в данном случае – уменьшить проекцию. Иногда нужно ещё совершить поворот, для того, чтобы наиболее удобно поместить изображение.

Рассмотрим изображение плоских фигур. В дальнейшем везде предполагаем, что плоскость (; ¯, в которой расположен оригинал (;¯, и плоскость изображений  не параллельны, а вектор p;\s\up8((, задающий направление проецирования не параллелен ни одной из этих плоскостей. Если (; ¯ ||, то изображение будет подобно оригиналу. Этот случай не представляет интереса для изучения.

Теорема 6. Пусть фигуры (;¯ и  лежат в плоскостях (; ¯ и , которые пересекаются. Фигура (;¯ может служить изображением фигуры  тогда и только тогда, когда эти фигуры аффинно-эквивалентны.

Доказательство. Пусть  является изображением (;¯. Тогда  получается из (;¯ в результате проекции f₁:(; ¯ ^–  и подобия f₂: ^– . Каждое из отображений f₁ и f₂ является аффинным. Поэтому f_2f₁ – тоже аффинное отображение и =f_2f₁((;¯). Следовательно, (;¯ и  аффинно-эквивалентны.

Обратно, пусть (;¯ и  аффинно-эквивалентны и f:(; ¯ ^–  – такое аффинное отображение, что =f((;¯). Нам нужно доказать, что это отображение является композицией проекции и подобия. Выберем на плоскости (; ¯ произвольный репер R; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯} так, чтобы A; ¯ и B; ¯ принадлежали линии пересечения плоскостей (; ¯ и . Пусть R = {A, B, C} – образ репера R; ¯ при отображении f.

Н а плоскости  выберем точку C_o так, чтобы ABC_o был подобен треугольнику ABC. Пусть

f₂: ^–  есть подобие, которое переводит ABC_o

в ABC. Пусть p;\s\up8(( ||\O(C; ¯, а f₁:(; ¯ ^–  есть проекция по направлению вектора p;\s\up8((.

Т огда f₁, очевидно, оставляет точки A; ¯ и B; ¯ на месте, а точку C; ¯ переводит в точку C_o. Тем самым, f₁ переводит репер R; ¯ в репер R _o= {A; ¯, B; ¯, C_o} на плоскости . Следовательно, отображение f_2f₁:(; ¯ ^–  переводит репер R; ¯ в репер R. Но отображение f тоже переводит репер R; ¯ в репер R. Согласно теореме 3 f=f_2f₁.

Теорему 6 можно переформулировать так: любое аффинное отображение f:(; ¯ ^–  является композицией проекции и подобия, но только при условии, что плоскости (; ¯ и  не параллельны.